有心力场

质点所受力的作用线恒通过一固定点，且其模为两点距离的函数的力场。在太阳系中，太阳和各行星的质量比很大，可认为太阳是固定的。行星围绕太阳运行时所受的太阳引力就是近似的有心力，因为这些力既通过太阳中心，又与行星到太阳的距离平方成反比。既然这些力只与行星的位置有关，故太阳系所在的空间，除行星附近以外，其引力场是有心力场。有心力场之所以重要是因为它在研究行星和航天器的运动以及电子和a粒子在核电场中的运动中有广泛的应用。

有心力对其力心的矩为零，根据动量矩定理，质点对力心的动量矩是常矢量，因此，运动轨道是平面曲线。此时，用极坐标描述质点在有心力场中的运动比较方便。若以Ox(图1)作为参考线，只受有心力作用的质点Q的极坐标为：

r＝r(t) 和 ＝(t)。

如将Q点的运动分解为沿矢径的相对运动和矢径绕O转动的牵连运动，可得到：

径向速度

，

横向速度

。如以r°和n°分别表示径向和横向单位矢量，则Q点的速度矢量可写为：

υ=υ+υ=r°+rn°，

式中υ和υ分别为Q点的相对速度和牵连速度。

Q点的加速度由三部分组成(图2)：

相对加速度 a=r°；

牵连加速度 a=-rr°+rn°；

科里奥利加速度 a=2n°。因此，质点Q的加速度可分解为径向和横向两部分：

a =(-r)r°+(r+2)n°。

质点只受有心力作用时，其矢量在平面上单位时间扫过的面积称为面积速度。设为面积速度，r为质点的矢径，υ为质点的速度，则

，(1)

式中垂直于r和υ所成的平面。另外，还可写为：

式中°为沿的单位矢量；为面积速度值。由

r =rr°，υ =r°+rn°

代入式(1)后得：

。

因而面积速度值为：

。

质点在有心力场中运动时，满足面积定律：质点在有心力场中运动时，矢径扫过的面积速度守恒。J.开普勒从行星运动的观察记录中得到这一经验规律，称为开普勒第二定律(见开普勒定律)；但此定律并不只适用于平方反比律的力，而且适用于有心力运动的一般情况。从有心力场中运动质点对力心的动量矩守恒，即

r×mυ＝m(r×υ)＝2m＝常矢量，

得到＝常矢量，因而

(2)

或写为：

r=C 。(3)

积分式(2)，得到：

S=Ct+C。

这就是面积定律的数学表示式。

若质点Q在有心力场中运动(图3)。将ma＝F在矢径上投影，因F沿径向，故有：

m(-r)=±F 。(4)

这就是以极坐标表示的有心力场中质点的运动微分方程，式中正号表示斥力的情况；负号表示引力的情况。牛顿万有引力场具有引力的特性，而在库仑静电场中吸引和排斥都有可能。如令式(3)中的r＝1/u，则可将、写作：

。

把和代入式(4)后，即得出比奈公式：

利用这个公式，可从质点运行的轨道决定它所受的力;反之，也可从质点所受的有心力决定它的轨道。

参考书目 J.B.Marion， Classical Dynamics of Particles and Systems，2nd ed.，Academic Press，New York，1970.