无名氏定理
无名氏定理简介
无名氏定理（Folk Theorem）即在重复博弈中，只要博弈人具有足够的耐心（贴现因子足够大），那么在满足博弈人个人理性约束的前提下，博弈人之间就总有多种可能达成合作均衡。存在无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的平衡点，并同时实现双方的合作。无名氏定理之所以得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”命名之。
我们知道，单凭理性计算，有限次重复博弈，是解决个体理性与集体理性之间矛盾的。在无限重复博弈中，行为规则可以用自动机来代表，于是不同行为规则的相争，便成了机器与机器的角斗。假设甲和乙玩无限重复的囚犯博弈。甲相信《美德的起源》一书作者的教导，认定仁厚忠恕既高尚又有效，于是以它为策略。乙信奉理性流氓主义，崇尚实力和实利，于是以流氓主义为策略。这样，二人间的博弈，就可以看作恕道机器与流氓机器的争斗。我们可以推演出各个回合双方的行为如下：第一回合，甲仁厚玩合作Ｈ，乙宰客玩欺骗Ｄ；第二回合，甲报复玩欺骗Ｄ，乙仍然宰客玩欺骗Ｄ；第三回合，甲仍报复玩欺骗Ｄ，乙发现甲并非傻客，于是玩合作Ｈ；第四回合，甲原谅乙，玩合作Ｈ；乙却因甲上次不合作，回头玩欺骗Ｄ宰客；……如此等等。整个结果序列如下图所示：
请注意，此序列呈现一个有趣的规律：就是每三个一组，不断循环重复。于是我们很容易算出，博弈各方平均每个回合的报偿有多少，只要取相继三个回合，作个简单平均就够了。甲得到（０＋２＋６）／３＝ 2.67，乙得到（６＋２＋０）／３＝ 2.67 。显然，两者平分秋色，不相上下，谁也不比谁差，谁也不比谁强。
这种循环重复并不是特例。可以证明，有限自动机玩无限重复博弈，其结果最终都会变成循环重复序列。于是，利用类似的办法，我们可以针对下表中列出的七种策略，算出每一对策略相博所产生的的平均报偿。这些报偿可以写成一个７×７博弈矩阵，如下表所示（其中一些略去了小数，这不影响下面的讨论）：
（ 纵轴为甲，横轴为乙）
上面这个表里面，有带圈数字的格子都是平衡点。比如，乙玩恶棍策略时，甲无论玩什么，都不比当恶棍带来的好处更多，顶多不致受损而已。因此，甲乙双方都当恶棍，次次都玩欺骗，便是重复囚犯博弈的平衡点之一，此时各方的报偿与一次性博弈相同，都是2。
观察一下上面这个表，我们会发现它有多个平衡点。非重复博弈中的均衡点，恶棍对恶棍，双方永远玩欺骗，仍然是无限重复博弈的均衡点。无条件合作的傻客策略，仍然不是重复博弈的均衡点，理性的人，决不会当傻客。更重要的是，重复博弈引进了许多新的平衡点，其中有不少平衡点，可以实现合作报偿(4,4)。这包括恕道策略对恕道策略，恕道策略对冷血策略，冷血策略对冷血策略，流氓策略对流氓策略等，都可以维持双方的合作。以流氓对流氓为例：第一回合，双方耍流氓互宰，发现对方不是好惹的之后，双方转入合作心态，此后一直维持合作，这样无限次重复，其平均报偿都是４。事实上，存在无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的平衡点，并同时实现双方的合作。这就是有名的“大众定理(Folk Theorem)”，又译作“无名氏定理”。它之得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”名之。
大众定理说明了行为规则的多样性：有无穷多种行为规则可以支持合作行为。在正常的平衡状态中，可观察到的行为可以完全相同的，此即博弈双方相互合作，不玩欺骗。但其背后的行为规则却可能大不相同合作，可以是由于双方都信奉仁厚的恕道主义，也可能是因为双方都是理性；流氓，还可能是因为双方都一冷血报复作威胁。这些行为规则上的区别，在正常的平衡状态中，是看不出来的，只有在非正常情况下，或在与外人的交往中，才会表现出来。 为说明此点，设想有两个相互隔离的社会：一个形成了理性流氓式的行为规则，一个形成仁厚恕道的行为规则，他们各自内部都能维持相互合作，这形成了社会的正常状态。外人但凭观察这两个社会中人们的正常行为，看不出他们有什么区别。现在假设两个社会打破隔离，相互接触，会产生甚么情况？两套行为规则间会出现激烈的冲突！
初次接触，流氓主义者将把对方当傻客，大宰其客。恕道主义者假设对方是好人，选择合作，只是在吃了亏之后，才以回宰其客相回报。流氓主义者见对方回宰，以为对方也是跟自己一样的流氓，于是转向合作心态，同时预期对方也选择合作。但恕道主义者根据“以直报怨”的原则，仍然以宰客回报对方上次的欺骗。流氓主义者一看对方不合作，怒从心起，于是报之以宰客，如此循环往复，双方永远无法达成合作。
行为规则的冲突，类似于人文学科里常说的文化冲突。由于行为规则反映了人们对各自行为的稳定预期，一些博弈论者把不同的行为规则解释为不同的文化信仰，应当是不无道理的。重复博弈理论，为我们科学理解许多文化现象，打开了大门。
无名氏定理（Folk Theorem）即在重复博弈中，只要博弈人具有足够的耐心（贴现因子足够大），那么在满足博弈人个人理性约束的前提下，博弈人之间就总有多种可能达成合作均衡。存在无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的平衡点，并同时实现双方的合作。无名氏定理之所以得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”命名之。
我们知道，单凭理性计算，有限次重复博弈，是解决个体理性与集体理性之间矛盾的。在无限重复博弈中，行为规则可以用自动机来代表，于是不同行为规则的相争，便成了机器与机器的角斗。假设甲和乙玩无限重复的囚犯博弈。甲相信《美德的起源》一书作者的教导，认定仁厚忠恕既高尚又有效，于是以它为策略。乙信奉理性流氓主义，崇尚实力和实利，于是以流氓主义为策略。这样，二人间的博弈，就可以看作恕道机器与流氓机器的争斗。我们可以推演出各个回合双方的行为如下：第一回合，甲仁厚玩合作Ｈ，乙宰客玩欺骗Ｄ；第二回合，甲报复玩欺骗Ｄ，乙仍然宰客玩欺骗Ｄ；第三回合，甲仍报复玩欺骗Ｄ，乙发现甲并非傻客，于是玩合作Ｈ；第四回合，甲原谅乙，玩合作Ｈ；乙却因甲上次不合作，回头玩欺骗Ｄ宰客；……如此等等。整个结果序列如下图所示：
请注意，此序列呈现一个有趣的规律：就是每三个一组，不断循环重复。于是我们很容易算出，博弈各方平均每个回合的报偿有多少，只要取相继三个回合，作个简单平均就够了。甲得到（０＋２＋６）／３＝ 2.67，乙得到（６＋２＋０）／３＝ 2.67 。显然，两者平分秋色，不相上下，谁也不比谁差，谁也不比谁强。
这种循环重复并不是特例。可以证明，有限自动机玩无限重复博弈，其结果最终都会变成循环重复序列。于是，利用类似的办法，我们可以针对下表中列出的七种策略，算出每一对策略相博所产生的的平均报偿。这些报偿可以写成一个７×７博弈矩阵，如下表所示（其中一些略去了小数，这不影响下面的讨论）：
（ 纵轴为甲，横轴为乙）
上面这个表里面，有带圈数字的格子都是平衡点。比如，乙玩恶棍策略时，甲无论玩什么，都不比当恶棍带来的好处更多，顶多不致受损而已。因此，甲乙双方都当恶棍，次次都玩欺骗，便是重复囚犯博弈的平衡点之一，此时各方的报偿与一次性博弈相同，都是2。
观察一下上面这个表，我们会发现它有多个平衡点。非重复博弈中的均衡点，恶棍对恶棍，双方永远玩欺骗，仍然是无限重复博弈的均衡点。无条件合作的傻客策略，仍然不是重复博弈的均衡点，理性的人，决不会当傻客。更重要的是，重复博弈引进了许多新的平衡点，其中有不少平衡点，可以实现合作报偿(4,4)。这包括恕道策略对恕道策略，恕道策略对冷血策略，冷血策略对冷血策略，流氓策略对流氓策略等，都可以维持双方的合作。以流氓对流氓为例：第一回合，双方耍流氓互宰，发现对方不是好惹的之后，双方转入合作心态，此后一直维持合作，这样无限次重复，其平均报偿都是４。事实上，存在无穷多对有限自动机策略，可以成为无限重复博弈的平衡点，并同时实现双方的合作。这就是有名的“大众定理(Folk Theorem)”，又译作“无名氏定理”。它之得名，是由于重复博弈促进合作的思想，早就有很多人提出，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”名之。
大众定理说明了行为规则的多样性：有无穷多种行为规则可以支持合作行为。在正常的平衡状态中，可观察到的行为可以完全相同的，此即博弈双方相互合作，不玩欺骗。但其背后的行为规则却可能大不相同合作，可以是由于双方都信奉仁厚的恕道主义，也可能是因为双方都是理性；流氓，还可能是因为双方都一冷血报复作威胁。这些行为规则上的区别，在正常的平衡状态中，是看不出来的，只有在非正常情况下，或在与外人的交往中，才会表现出来。 为说明此点，设想有两个相互隔离的社会：一个形成了理性流氓式的行为规则，一个形成仁厚恕道的行为规则，他们各自内部都能维持相互合作，这形成了社会的正常状态。外人但凭观察这两个社会中人们的正常行为，看不出他们有什么区别。现在假设两个社会打破隔离，相互接触，会产生甚么情况？两套行为规则间会出现激烈的冲突！
初次接触，流氓主义者将把对方当傻客，大宰其客。恕道主义者假设对方是好人，选择合作，只是在吃了亏之后，才以回宰其客相回报。流氓主义者见对方回宰，以为对方也是跟自己一样的流氓，于是转向合作心态，同时预期对方也选择合作。但恕道主义者根据“以直报怨”的原则，仍然以宰客回报对方上次的欺骗。流氓主义者一看对方不合作，怒从心起，于是报之以宰客，如此循环往复，双方永远无法达成合作。
行为规则的冲突，类似于人文学科里常说的文化冲突。由于行为规则反映了人们对各自行为的稳定预期，一些博弈论者把不同的行为规则解释为不同的文化信仰，应当是不无道理的。重复博弈理论，为我们科学理解许多文化现象，打开了大门。