解析究竟什么是黎曼函数

黎曼函数

说起黎曼，不能不提起他的黎曼函数。作为先后多次在数学大会上被提及的数学难题，这一函数一个多世纪以来一直是数学家们关注的焦点。说起这一函数，其提出的时间是在1859年，当时虽然距离今天已经过去了整整一个半世纪，但却一直都有着极大的影响，甚至成为现如今很多数学家研究论证的对象。

黎曼图片

而到底什么是黎曼函数呢？其实这是一种比较特殊的函数，之前并没有任何人提出过，是颇具盛名的黎曼首先提出来的。黎曼的这一函数定义在[0，1]上，而且函数中的R(x)=1/q，当x=p/q(p，q都属于正整数，p/q为既约真分数)的时候，R(x)=0，后来，这一函数在高等数学中经常被用到，对后来的学科产生了不能替代的影响，并且能够在很多情况下，用来作为反例来证明很多函数方面的命题，对世界各国的数学都有一定的影响。

而从黎曼的函数中得出来的推论也有不少。其中一个便是其函数在(0，1)内的所有无理点处处都有连续，反过来，所有的有理点处处都不连续。另外一个推论则是，该函数在区间[0，1]上是黎曼可积的。从其中也衍生出很多数学上的思索。

黎曼的函数关于无理点、有理点、连续以及不连续的说法，现在也是数学家们研究的对象。后来，还有尼日利亚的数学家对其函数进行过论证，但是并没有得到明确的证明。

黎曼简介

常常会有人问到，在数学微分几何的发展上如果没有黎曼的出现会怎样，这个假想的结果我们不敢想象，但是我们可以得知的是，黎曼在他的数学和物理研究当中得出的一些结论，对于自然科学的发展都起到了极大地推动作用。

黎曼画像

黎曼简介是从他出生开始的，他出生在一个并不富裕的家庭，父亲是小镇的一名牧师，这个喜欢安静的孩子在兄弟姐妹当中似乎显得有点特别，而即使是成年以后，由于喜欢独处，他也并没有多少朋友。最初黎曼是按照父亲的意思学习神学和哲学方面的知识的，但是由于喜欢数学，他后来转行去学数学。

雅克比和狄利克雷对于黎曼的影响非常大，在黎曼简介里，这两个人对于黎曼就是恩师一样的存在，而在这两位老师的教导下，他相继攻克了几个难题，包括当时比较出名的复变函数在什么样的条件下是可导的等，这样他在学术界有了自己的名声。随后他坚持数学研究，并且受聘于哥廷根大学作为教授。由于他在几何数学方面的研究不断取得突破，他开创了属于自己的黎曼几何学，成为了数学微分学、几何学上的有突出贡献的人。

黎曼在晚年的时候，身体状况非常差，而为了维持身体状况的良好，他多次去意大利修养，这时候黎曼和很多人开始联络的很少了，戴德金是一个联系比较密切，知道他身体情况的人，在第三次去意大利的修养的过程当中，黎曼因为肺结核离开了。

黎曼积分

高等数学上，我们会接触到定积分，而定积分还有另外一个名字叫做黎曼积分，他在数学上指的是在一个指定的区间里，存在一个非负函数，而这个函数代表的曲线和坐标轴之间会有一个特定的图形，这个图形的面积一般就被称为定积分，也被叫做黎曼积分。

黎曼图片

而为什么会用到黎曼积分，这其实和黎曼和有关，这是在求图形的函数图像和坐标轴围城图形的面积过程当中，不是采用过去的几何方法直接去算，而是用黎曼和去逼近，当这两个数值无限接近，那么，就可以求出我们要的结果了。

而黎曼和的计算上大致上有这样几个步骤，分割区间，求和，取极限。区间的分割不是随意的，首先要选择一个闭区间，然后才可以进行分割，对于区间的分割必须尽可能的精细，因为当所取的区间非常小的时候，非负函数的曲线就可以近视的堪为一条直线了，这样一个求面积的计算就变成了求很多个小的长方形的面积了，选择这样的方法来计算图形的面积，可以在允许的范围内最大限度的降低误差。并且把求一个不规则图形的面积转化成求很多个规则图形的面积。

而现在，黎曼积分在数学上几乎成为了高等数学的基础，他作为后续其他课程的基础，如果能够正确的理解极限求和的思想，在以后的高等数学中，学起来就不是很困难了。而今天我们对于积分能够有这样的认知，完全是得益于黎曼当时的研究。