贾宪

贾宪，北宋人，约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉《详解九章算法》（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。

人物简介

贾宪，11世纪前半叶中国北宋数学家。贾宪是中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数学家．曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失传。据《宋史》记载，贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，著有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书。贾宪著作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。

贾宪的主要贡献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性．增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。

在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“出释锁算书，贾宪用此术”。贾宪开方作法图就是贾宪三角形。杨辉还详细解说贾宪还发明的释锁开平方法，释锁开立方法，增乘开平方法，增乘开立方法。

数学成就

贾宪的老师楚衍是北宋前期著名的天文学家和数学家，“于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”。当时人王洙（997—1057）有记载：“世司天算，楚，为首。既老昏，有，子贾宪、朱吉著名。宪今为左班殿直，吉隶太史。宪运算亦妙，有书传于世。”根据《宋史·艺文志》记载贾宪著有《黄帝九章算经细草》九卷，又据《明焦竑国史·艺文志》记载，著有《算法斅古集》二卷 [1]  及《释锁》，可惜均已失传。杨辉著《详解九章算法》（1261年）中曾引用贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”（求高次幂的正根法）。前者比帕斯卡（PascalBlaise，1623—1662）三角形早600年，后者比霍纳（WilliamGeogeHorner，1786—1837）的方法（1819年）早770年。此外，“立成释锁开方法”的给出，“勾股生变十三图”的完善，以及“增乘方求廉法”的创立，都表明贾宪对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要贡献。

数学方法

虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨辉缉录的细草中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有以下两点。

抽象分析

在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题时更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他说：“勾股弦并而为和，减而为较，等而为变，为乘，为段，自乘为积，为幂。”十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、勾股较（b-a）、勾弦较（c-a）、股弦较（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、股弦和（b+c）、弦较和（c+（b-a））、弦和和（c+（a+b））、弦和较（（a+b）-c）、弦较教（c-（b-a））。他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛开《九章》算题本身，并对勾股问题进行抽象分析了。

例如“出南北门测邑方”问，《九章》的方法是：术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方。贾宪的方法是：术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。

程序方法

程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法，比如少广章有：“今有积一百八十六万八百六十七尺，问：为立方几何？”这是一道对1860867开三次方的问题。贾宪的方法是：草曰：（1）实上商置第一位得数一百。（2）以上商乘下法置廉一百，乘廉为方一万，除实，讫。（3）复以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三万。（4）又乘下法入廉共三百。（5）其方一、廉二、下三退定十。（6）再于第一位商数之次，复商第二位得数二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三万六千四百，命上商除实，讫

余一十三万二千八百六十七。（7）复以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四万三千二百尺。（8）又乘下法入廉共三百六十。（9）其方一、廉二、下三退，如前。（10）上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四万四千二百八十九，命上商三尺除实，适尽，得立方一面之数。