大衍求一术

最古的一次同余式组解法，属于近代数论不定问题之一种。同余问题最早出现在《周易》揲蓍衍卦法中。汉刘歆的《三统历》所开创的“上元积年”推算涉及同余问题解法。成书于公元5世纪初的《孙子算经》“物不知数”问题中最早记载同余问题的一个特殊解法。南宋秦九韶总结了自揲蓍筮法以来的同余问题，在其《数书九章》中给出这类问题的比较完整的一般解法。他首次发现《周易》揲蓍法的数学同余结构，将其作为此类问题的首例并题为“蓍卦发微”。这类问题被他命名为“大衍”，其解法赋名“大衍总数术”和“治历演纪术”，其基础是“大衍求一术”。《数书九章》写道：“置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上一相生入左下。然后乃以右行上下以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘归左行上下，倾使右上奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。”在《周易》中，“大衍”指揲蓄成卦过程。在数学意义上，“大衍”表示按一定程式循环；“求一”意味着跳出这个循环的必要条件，也就是“奇一而止”。

秦九韶后，大衍求一术失传500年。清代中叶，秦书面世后被广泛研究。焦循著《大衍求一释》，张敦仁著《求一算术》(1803年)，骆腾凤撰《艺游录》(1815年)，时曰醇纂《求一术指》(1873年)，黄遵宪写《求一通解》(1874年)完善此法。近人有关此法的著作已是作为历史研究。

在国外，印度数学家圣使于499年所著文集四章涉及一次不定问题解法，阿拉伯阿部卡米勒(850～930)也发现这类问题，意大利L．斐波那契(1170～1250)关于剩余问题的论述不高于《孙子算经》水平。瑞士L．欧拉于1783年在其《分析短论》中给出同余问题的理论论述，但完整的同余理论是德国C．F．高斯在其《算术探究》(1801年)中明确提出的，此时已晚于秦九韶500多年。

英国来华传教士A．伟烈亚力在其《中国科学札记》(1852年)中介绍了大衍求一术及第一题的解说和其他题注，中国的剩余定理才为欧洲人所知。1874年德国L．马蒂生在《数学与自然科学杂志》上发表文章，指出孙子的解法与高斯定理相符。后来德国数学史家M．B．康托尔(1829～1920)承认并赞誉中国古人这一伟大的数学发现。