直角三角形边角关系的实际应用

例1 如图,在小山的东侧A庄,有一热气球,由于受西风的影响,以每分钟35m的速度沿着水平方向成75°角的方向飞行,40分钟时到达C处,此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上,同时测得B庄的俯角为30°,又在A庄测得山顶P的仰角为45°,求A庄与B庄的距离及山高.(保留准确值)

解 过点A作AD⊥BC于D,

在Rt△ADC中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=35×40=1400(m),

(m).

在Rt△ABD中,∠B=30°,∴AB=2AD=1400(m).

又过点P作PE⊥AB于E.

则AE=PE,

(m).

答 A庄与B庄的距离是1400m,山高是700()m.

例2 如图,小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内,她家的河对岸新建了一座大厦,为了测得大厦的高度,小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°,爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°,已知小丽所住的电梯公寓高82m,请你帮助小丽计算出大厦高度BC及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC.

解 过点D作DE⊥BC于E,则DE=AC,EC=DA=82m,∠BDE=30°,∠BAC=60°.

设BE=xm,DE=AC=ym,则BC=(x+82)m,在Rt△BDE中,

联立①、②解得x=41,

故BC=41+82=123(m).

答 大厦高度BC为123m,大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC为41m.

例3 下表是小亮所填实习报告的部分内容:

请根据小亮测得的数据,填表并计算国贸大厦的高.(已知测倾器的高CE=DF=1m)

解 设AG=x,在Rt△AFG中,

∵∠β=45°,

∴FG=AG=x,EG=60+x.

在Rt△AEG中,∠AGE=90°,∠α=30°

解这个方程,得

经检验,是原方程的根.

∵BG=CE=1.

(m).

答 国贸大厦的高为(31+30)m.

例4 测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选择M点作为观测点,从M点测得山顶P的仰角为30°,在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上,量得这两点间的图上距离为3cm,则山顶P的海拔高度为__m.(取)

答 1116.

[解析] ∵比例尺为1∶50000.

∴山顶P的海拔高度为3·tan30°×50000÷100+250=500+250≈500×1.732+250=1116.

例5 如图,登山队员在山脚A点测得山顶B的仰角∠CAB=45°,当沿倾斜角为30°的斜坡前进100m到达D点后,又在D点测得山顶B的仰角为60°,求山高BC.(精确到1m)(参考数据:)

解 过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.

∵∠BAC=45°,

∠ACB=90°.

∴∠ABC=45°.

又∵∠BDF=60°,

∴∠DBF=30°.

例6 如图,湖泊的中央有一个建筑物AB,某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°,然后,自C处沿BC方向行100m至D点,又测得其顶部A的仰角为30°,求建筑物AB的高.(精确到0.01m,)

解 由题意,可知∠ACB=60°,∠ADB=30°,又∵∠ACB是△ACD的一个外角,

∴∠DAC=∠ACB-∠ADC=30°,△ACD是等腰三角形.

∴AC=CD=100m.

在Rt△ABC中,AB=AC·sin60°=100·(m).

答 建筑物AB的高约为86.60m.

例7 如图,山脚下有一棵树AB,小强从点B沿山坡向上走50m到达点D.用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB的高.(精确到0.1m,已知sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15≈0.97,tan15°≈0.27)

解 如图延长CD交PB于F,则DF⊥PB.

∴DF=BD·sin15°≈50×0.26≈13.0.

∴CE=BF=BD·cos15°≈50×0.97≈48.5.

∴AE=CE·tan10°≈48.5×0.18=8.73.

∴AB=AE+CD+DF=8.73+1.5+13≈23.2(m).

答 树高约为23.2m.

例8 如图,某同学在离铁塔150m的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30°,已知测角仪器高AD=1.56m,求铁塔BE的高.(精确到0.1m,计算需用时,其值取1.73)

解 过点D作DC⊥BE于C,则DC=AB=150m,CB=AD=1.56m.

答 铁塔BE的高约为88.1m.

例9 某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1).小明想为自己的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:∠α=24°36′,∠β=73°30′,小明又量得窗户的高AB=1.65m,若同时满足下面两个条件,(1)当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2)当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图2),帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m)

以下数据供计算中选用

sin24°36′=0.416,

cos24°36′=0.909,

tan24°36′=0.458,

cot24°36′=2.184,

sin73°30′=0.959,

cos73°30′=0.284,

tan73°30′=3.376

cot73°30′=0.296.

图1

图2

答 BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.

例10 某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼(如图),该居民楼的一楼是高6m的小区超市,超市以上是居民住房,在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

(1)问超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么?

(2)若要使超市采光不受影响,两楼应相距多少m?(结果保留整数,参考数据:sin32°≈,tan32°≈5/8

解 (1)如图,设CE=xm,则AF=(20-x)m.

即20-x=15·tan32°,x≈11.

∵11>6,

∴居民住房的采光有影响

(2)如图,,BF=20×=32.两楼应相距32m.

例11 如图,西宁市风景区有2个景点A、B,为了方便游客,风景管理处决定在相距2km的A、B两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量,在A点的北偏东60°方向、B点的西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7km的小水潭,问小水潭会不会影响公路的修筑,为什么?(参考数据:≈1.732,)

解 过C作CD⊥AB于D.

设CD=xm.

∵∠ABC=45°∠CDB=90°,

∴∠BCD=45°.

∴DB=CD=x.

∵∠EAC=60°,∴∠CAD=30°

∵AD+DB=AB=2km,

∴小水潭不会影响公路的修筑.

例12 在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案(如图1所示):

(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;

(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;

(3)量出测倾器的高度AC=h.

根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山高度(如图2)的方案:

(1)在图2中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当字母);

(2)写出你设计的方案.

图1

图2

解 (1)正确画出示意图.

(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时山顶M的仰角∠MCE=α;

②在测点A与小山之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β;

③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A、B之间的距离AB=m,根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.

例13 如图:某船以每小时36海里的速度向正东方向航行,在A点测得某岛C在北偏东60°的方向上,航行半小时后到B点测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16海里内有暗礁.(1)试说明B点是否在暗礁区域外;(2)若继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.

解 (1)∵AB=36×0.5=18,∠ADB=∠EAC=60°,∠DBC=30°,

∴∠ACB=30°.

又∵∠DAB=30°,

∴BC=AB=18>16.∴B点在暗礁区域外.

(2)过C作CH⊥AB,垂足为H.

在Rt△CAH中,∠CAH=30°.

,在Rt△CBH中,∠BCH=30°.

设BH=x.∴

∴x=9.

∴船继续向东航行有触礁危险.

例14 “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测量到∠A=30°,AC=40m,BC=25m,请你求出这块花圃的面积.

解 分两种情况计算:

当三角形为钝角三角形时,

过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ADC中,∠A=30°,AC=40,

∴CD=20,

在Rt△CDB中,CD=20,CB=25,

(m).

(2)当三角形为锐角三角形时,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D,

由(1)可得CD=20,,DB=15.

例15 如图,已知测速站P到公路L的距离PO为40m,一辆汽车在公路L上行驶,测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2s,并测得∠APO=60°,∠BPO=30°,计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米(结果保留四个有效数字),并判断此车是否超过了22m/s的限制速度.

解 在Rt△BPO中,BO=OPtan30°,在Rt△APO中,AO=OPtan60°.

∴汽车超过了22m/s的限制速度.

例16 如图所示,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货,此时,接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.

(1)问:B处是否会受到台风的影响?请说明理由;

(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?

(供选用数据:)

解 (1)过点B作BD⊥AC,垂足为D.

依题意得∠BAC=30°,在Rt△ABD中,BD=1/2AB=1/2×20×16=160<200.

∴B处会受到台风的影响.

(2)以点B为圆心,200海里为半径画圆交AC于E、F.(如图)

由勾股定理可求得DE=120,(海里)

∴该船应在3.8小时内御完货物.

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