垂径定理的逆定理
书籍:初中数理化公式定理大全
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
例1 如图☉O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C．
图中相等的线段有＿＿相等的劣弧＿＿．
答 OM=ON
例2 ☉O中，CD为弦，AB为直径，且CD⊥AB，垂足为P，AB=4，PA∶PB=1∶3，求OP和CD的长．
连接OC，在Rt△OCP中，OC=OA=2OP=1，根据勾股定理可得
根据垂径定理可知
，∴CD=2
．
例3 ☉O中，M、N是弦AB、CD的中点，
若∠AMN=∠CNM，
求证：OM=ON．
证明 ∵M为AB中点，O为圆心，
∴OM⊥AB，∴∠OMA=90°．
同理可证∠ONC=90°．
∴∠OMA=∠ONC．
又∵∠AMN=∠CNM，
∴∠OMN=∠ONM．
∴OM=ON．
例4 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?
解 过A点作AB⊥MN于B点．
∵∠QPN=30°，PA=160m．
∴AB=80m<100m．
∴学校会受到噪声影响．
以A为圆心，以100m为半径作☉A与MN交于C、D两点，连接AC，根据勾股定理可得BC=60m．
再根据垂径定理可知CD=2BC=120m．
答 学校受影响时间为24s．
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