多边形的对角线

在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

注意1．n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条，这(n－3)条对角线把n边形分成(n－2)个三角形．

2．n边形共有条对角线．

3．多边形包括三角形、四边形、五边形…

4．多边形中最多有3个内角是锐角(如锐角三角形)也可以没有锐角(如矩形)．

例1 阅读材料：多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，下图给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成2个、3个、4个小三角形．

请你按上图的方法，将下图中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n边形．

答 如图中虚线所画，分割后的小三角形个数分别为4个、5个、6个推广到n边形，分割后的小三角形个数分别为n－2，n－1，n．

例2 四边形的对角线有两条，五边形的对角线有五条，那么n边形的对角线有几条?如果一个正多边形有27条对角线，那么它的边数是多少?

图1

图2

图3

解 先考虑四边形、五边形的情况，最后探求n边形的情况．

如图1，对于四边形上任一顶点，除去本身和相邻的两点，只有一个点可以连接；

如图2，对于五边形上任一顶点，除去本身和相邻两点，只有两个点可以连接；…

如图3，对于n边形上任一点，除去本身和相邻的两点，只有(n－3)个点可以连接，从而构成(n－3)条对角线，n个点就有n(n－3)条对角线，但由于两点在连接时对角线计算了两次，所以有条对角线，记作

设这个正多边形边数为n，则有，∴n=9．

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