三角形全等的条件
1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
2．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．
3．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”．
4．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”．
5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边直角边”或“HL”定理．
注意1．判定两个三角形全等，要根据已知条件，来选择使用哪一种判定方法．
2．判定两个三角形全等的条件中，至少有一对边对应相等(三个角对应相等的两个三角形不一定全等)．
3．假如题中已知两对边相等，根据判别条件要寻找两条边的夹角相等，或另一对边相等，用SAS或SSS来判定．
4．假如题中已知两对角相等，根据判别条件要寻找另一对边相等，用AAS或ASA来判定．
5．假如题中已知一对边等，一对角等，根据判别条件，要寻找另一对角等，用AAS或ASA来判定，或者再寻找相等的角的另一条邻边对应相等，用SAS来判定．
6．判定两个直角三角形全等，优先考虑HL，不行时，再考虑用其他四种一般方法来解决．
例1 如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件＿＿，使△AEH≌△CEB．
答 AE=CE(或AH=CB或EH=EB)．
例2 如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌ △CDN( )．
A．∠M=∠N
B．AB=CD
C．AM=CN
D．AM∥CN
答 C．
[解析] 两边及其中一边的对角对应相等，两三角形不一定全等．
例3 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是( )．
A．AD=AE
B．∠AEB=∠ADC
C．BE=CD
D．AB=AC
答 B．
[解析] 补充B选项后，两个三角形中仍无对应边相等，无法判定两个三角形全等．
评注 要证明两个三角形全等，至少有一对对应边相等．
例4 如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．
证明 在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD．∴AD=AE．
例5 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠D=∠ECA，EC=FD求证：AE=BF．
证明 ∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD
即AC=BD．
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD．
∴AE=BF．
例6 已知：如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD，AD交BC于点O，求证：(1)△CAB≌△DBA；(2)OC=OD．
证明 (1)∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，
∴△CAB≌△DBA．
(2)由△CAB≌△DBA得∠C=∠D，
又∵∠COA=∠DOB，AC=BD，
∴△COA≌△DOB．
∴OC=OD．
例7 如图，P是线段AB上一点，△APC与△BPD是等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗?并说明你的判断．
答 相等．
[解析] ∵△APC和△BPD都是等边三角形．
∴AP=CP，BP=DP，
∠APC=∠BPD=60°．
∴∠APD=∠BPC．
在△APD与△CPB中
∴△APD≌△CPB(SAS)．∴AD=BC．
例8 如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离关系；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明你的结论．
答 (1)OA=OB=OC．
(2)△OMN为等腰直角三角形．
[解析] ∵Rt△ABC，AB=AC，OC=OB，
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°，
∴∠AOB=90°
∴△AON≌△BOM(SAS)．
∴ON=OM，∠AON=∠BOM．
又∵∠AOM+∠BOM=90°，
∴∠AOM+∠AON=∠MON=90°，
∴△OMN为等腰直角三角形．
例9 如图1，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以( )．
①
②
③
图1
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①和②去
答 C．
[解析] 怎样做一个三角形与已知三角形全等，可依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被打碎成三块，其中①仅留一角；②没边没角；而③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难作出与原三角形全等的三角形，故应选C．
例10 如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件＿＿．
答 ∠E=∠B或∠D=∠A或DF=AC．
[解析] 若补充∠E=∠B，则可以用“ASA”来判定△ABC≌△DEF；若补充∠D=∠A，则可以用“AAS”来判定．△ABC≌△DEF；若补充DF=AC，则可以用“SAS”来判定△ABC≌△DEF．因此，补充的条件可以是∠E=∠B或∠D=∠A或DF=AC．
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