数学归纳法

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第120页（3060字）

1．数学归纳法的两个步骤是：

(Ⅰ)证明当n=n_o时，结论正确；

(Ⅱ)假设n=k(k∈N^*且k≥n_o)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确．

两个步骤是一个统一的整体，有(Ⅰ)无(Ⅱ)，只是孤立地证明了命题在特殊情况下的正确性，无法进行递推，有(Ⅱ)无(Ⅰ)缺少递推的基础，也无法进行递推，因此，数学归纳法的两个步骤不可分割，缺一不可．用数学归纳法证题时，利用归纳假设证n=k+1时命题成立是关键的一步．要证好这一步，首先要明确以下两点：一是要证什么?即n=k+1时的命题是什么?二是n=k+1时命题与归纳假设的区别是什么?明确了这两点也就明确了这一步证明的方向和基本方法，在证明这一步时，特别应注意要把归纳假设当做已知条件使用，而且必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法．

在步骤(Ⅱ)的证明过程中，突出了两个“凑”字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时命题形式之间的区别和联系．

数学归纳法是用两个命题的证明(即步骤(1)和(2))代替了无穷多个命题的证明，这里体现了有穷与无穷的辩证关系．

掌握数学归纳法证明问题的基本方法并不难，学习中的困难往往来自于以下几个方面：

1．常规的数学问题中，都要求通过归纳得出一个结论，再用数学归纳法证明，这里就要求能正确地归纳，或者说归纳出一个正确的结论，就像归纳出一个通项公式、一个等式或其他的公式．因此在归纳出一个结论后，要先作验证工作，否则“证明”是得不到好结果的．

2数学归纳法证明过程中，要用到各部分的数学知识，综合性较强，有时一个命题不会证明，并不是因为不熟悉数学归纳法，而是综合能力较差．

3．在识别“n取第一个值时，命题的形式”时要认真对待，同样，在发现n=k+1的命题与n=k的命题的内在联系时，也容易发生差错，更应引起重视．

4．有时命题在证明之前宜将其形式作些变化，以利于证明和叙述．例如，数学归纳法证明等差数列的前n项和的公式+a_n)，宜改成又知，在证明当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ一定能被x+y整除；n是偶数时，xⁿ—yⁿ一定能被x—y整除，宜将xⁿ+yⁿ及xⁿ—yⁿ改写成x^2n—1+y^2n—1及x²ⁿ—y²ⁿ(n∈N^*)．

5．对于当n=k+1时的证明是整个证明过程中的重点和难点，此处要运用归纳假设和其他数学方法(如分析法、综合法、比较法、反证法等)．

可以这样认为：数学归纳法是用两个命题的证明，代替了无穷多个命题的证明，它充分体现了有穷与无穷的辩证关系．

能运用数学归纳法证明下列问题：

(1)证明与自然数n有关的恒等式和不等式；

(2)证明整除问题；

(3)证明与自然数n有关的几何问题；

(4)证明数列问题；

(5)证明某些归纳、猜想问题．

例1 试证明：

综合(1)(2)对任意n∈N^*都成立．

例2 是否存在常数a，b，c使等式1·(n²—1²)+2(n²—2²)+…+n(n²—n²)=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立?证明你的结论．

分别用n=1，2，3代入解方程组

证明

下面用数学归纳法证明．

(1)当n=1时，由上可知等式成立．

(2)假设当n=k时等式成立．

则当n=k+1时，

由(1)，(2)得等式对一切的n∈N^*均成立．

这类问题的解法思路是：若存在a，b，c使等式成立，首先对n=1，2，3时，等式应成立，因此，对n=1，2，3先把a，b，c求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明才能证明存在常数a，b，c使等式成立．

例3 用数学归纳法证明：(3n+1)7ⁿ1(n∈N^*)能被9整除．

证明 在推证从f(k)到f(k+1)时，可利用f(k+1)—f(k)和f(k)都能被9整除，那么f(k+1)可被9整除的技巧．

令f(n)=(3n+1)7ⁿ—1．

(1)f(1)=(3×1+1)7¹—1=27能被9整除．

(2)假设f(k)(k∈N^*)能被9整除，则f(k+1)—f(k)=[(3k+4)·7^k+¹—1]—[(3k+1)·7^k—1]=9·(2k+3)·7^k，

∴f(k+1)=f(k)+9(2k+3)·7^k能被9整除，由(1)、(2)可知，对一切n∈N^*，命题成立．

另证：(1)n=1时，原式=4×7—1=27能被9整除，(2)若n=k(k≥1)，(3k+1)·7^k1能被9整除，则n=k+1时[3(k+1)+1]·7^k+1—1=[(3k+1)+3](1+6)·7^k—1=(3k+1)7^k—1+(3k+1)·6·7^k+21·7^k=[(3k+1)·7^k—1]+18k·7^k+27·7^k

∴n=k+1时也能被9整除．

这两种证法实质是相同的，第一种证法是用f(k+1)—f(k)来找f(k+1)与f(k)的差，看这个差能否被9整除，而第二种证法是从f(k+1)中凑出f(k)，然后再证余下的部分也能被9整除，前一种证法告诉我们f(k+1)与f(k)差的计算法，算法直截了当．