两平面平行的判定定理

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第94页（1706字）

定理1 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，用符号表示为，a∩b=A，a∥α，．

定理2 垂直于同一条直线的两个平面平行，用符号表示为

α⊥a，．

例1 平行于同一平面的两个平面平行．

已知：如图所示三个不同平面α、β、γ中α∥β、β∥γ，求证：α∥γ．

策略 判定两平面平行，常用途径有：

(1)证明其中一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面；

(2)证明两个平面同垂直于一条直线，这里两条途径都可．

证法一 在α内取两条相交直线a和b，过a作平面p交β于a₁．

∵α∥β，

∴a∥a₁，又过a₁作平面q交γ于a₂．

∵β∥y，

∴a₁∥a₂，故a∥a₂，又，，

∴a∥γ，

同理可证b∥γ，又a与b相交，

∴α∥γ．

证法二 作直线l⊥α，

∵α∥β，

∴l⊥β，又β∥γ，

∴l⊥γ，由l⊥α，l⊥γ，

∴α∥γ．

点评 本题考查平面与平面平行的判定问题，涉及到的两种思考途径是基本的方法，应力求掌握，其基本思路为：

线线平行线面平行面面平行．

线线垂直线面垂直面面平行．

例2 正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CC₁、AA₁的中点，求证：平面BDE∥平面B₁D₁F．

策略 要证平面BDE∥平面B₁D₁F，区为BD∥B₁D₁，所以只需证明FB₁∥DE．

证明 设G是BB₁的中点，连结FG、CG．

∵，，∴．

∴四边形FGCD是平行四边形，则．

由题设可得，则，所以四边形DFB₁E是平行四边形．

∴B₁F∥ED，因为，平面BDE，所以B₁F∥平面BDE．

又∵B₁D₁．∥BD，，BD平面BDE．

∴B₁D₁∥平面BDE．

∵B₁D₁∩B₁F=B₁，∴平面BDE∥平面B₁D₁F．

点评 证“面面平行”，要先证“线线平行”．进而要证“线面平行”，最后证出面面平行，这就是立体几何中最常用的化归思想(线线、线面及面面的相互化归)．本题也可用“垂直”判定，请读者自己探讨．