平面向量的基本定理

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第48页（1849字）

如果e₁，e₂是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，存在惟一的一对实数λ，μ，使a=λe₁+μe₂．

例1 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )．

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

分析 本题考查了学生对向量加法的几何法则的运用以及对单位向量的认识，由于和分别表示与和同向的单位向量，故为与∠BAC的平分线共线的向量．

，当λ≥0时λμ≥0．

故P点的轨迹为射线AD，所以一定通过△ABC的内心．故选B．

例2 判断下列命题是否正确?

(1)若|a|=|b|，则a=b．

(2)两个向量相等的充分必要条件是它们的起点相同，终点相同．

(3)若，则四边形ABCD是平行四边形．

(4)若四边形ABCD是平行四边形，则 ．

(5)若a=b，b=c，则a=c．

(6)若a∥b，b∥c，则a∥c．

分析 (1)不正确，两向量模相等，方向不一定相同．(2)不正确，充要条件是大小相等且方向相同；起点相同，终点相同是两向量相等的充分不必要条件(3)不正确，A、B、C、D可能位于同一直线上，此时不构成四边形．(4)正确．(5)正确．(6)不正确，如b=0时，就不成立．

评注 通过这六个小题可以看出：准确理解基本概念是非常必要的，稍有偏差，就会谬之千里!

例3 (1)如图(1)，在△ABC中，AA₁，BB₁，CC₁是△ABC的三条中线，求证：

(2)如图(2)，在△ABC中，G为△ABC的重心，点O为△ABC所在平面内任一点，求证：．

(1)

(2)

分析 (1)设．

∵A、B、C三点构成一个三角形，

∴，即a+b+c=0，只要将，，用a，b，c向量表示即可．

(2)将，，分别用，；，；，表示出来，得：

．

再证明++=0即可．

解：(1)∵ ，∴．

∵，∴=0．

(2)∵ ，

∴ ．

设D为BC之中点，延长AD至F，使|GD|=|DF|．

∵|BD|=|DC|，

∴四边形BGCF为平行四边形．

∴．

∵点G为△ABC的重心，∴ ．

∴．

∴．

∴．