三角函数的最值

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第45页（1723字）

求三角函数的最值一般有如下三种方法．

1．三角方法：先通过三角恒等变换，化为只含有一个角的一种三角函数的式子，再依|sinx|≤1或|cosx|≤1来确定函数的最值．

2．代数方法：先通过变量代换转化为代数函数，再选用配方法、不等式法、判别式法、单调性法等求解，注意先确定换元后函数定义域．

3．解析法：将三角函数与坐标定义联系起来运用解析的知识来求其最值，这时，点线之距离公式，直线方程等都有用武之地．

三角函数的最值有如下几种常见类型．

1．y=asinx+b设t=sinx化为一次函数y=at+b在闭区间[—1，1]上的最值求解．

2．y=asin²x+bsinx+c设t=sinx化为二次函数y=at²+bt+c在闭区间[—1，1]上的最值求解．

3．y=asinx+bcosx引入辅助角φ(tanφ)化为求解．

4．y=asinxcosx+b(sinx±cosx)令t=sinx±cosx化为二次函数t在闭区间上求解．

5．y=atanx+bcotx设t=tanx化为用判别式法求解．

6．可转化为sin(x+φ)=f(y)的形式．

再根据正弦函数的有界性求解，特别地也可利用数形结合转化为解析的知识求解．

例1 当时，函数f(x)=的( )

A．最大值是1，最小值是—1．

B．最大值是1，最小值是—1/2．

C．最大小值是2，最小值是—2．

D．最大值是2，最小值是—1．

由y=sint，的图象知：时，sint有最小值—1/2，f(x)有最小值—1；时sint有最大值1，f(x)有最大值2，故选D．

例2 求函数y=(1+sinx)(1+cosx)的最大值．

解 y=(1+sinx)(1+cosx)

=1+sinx+cosx+sinxcosx．

设t=sinx+cosx，(由三角函数的有界性知)

则sinxcosx=1/2(t²—1)，即得y=1/2(t+1)²．

∴当时，．

评析 对于解含有sinx+cosx和sinx·cosx的函数的最值问题，我们一般用此法求解．

例3 求函数的最大值和最小值．

解 解法一：函数的几何意义为两点P(—2，0)，Q(cosx，sinx)连线的斜率k，而Q点的轨迹为单位圆，由图可知 ，∴，．

解法二：上述函数的最值问题，可令(t∈R)，