复平面和零点－极点图

出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《新编液压工程手册上册》第132页（1334字）

(1)复数和复平面

形如s=σ+jω的数叫复数，其中σ和ω都是实数，分别叫复数s的实部和虚部，记为

σ=Re(s)

ω=Im(s)

在平面直角坐标系上，把横轴的单位取为1(称实轴)，纵轴的单位取为j(称虚轴)，所构成的平面叫复平面，也称s平面，如图5．2－1。因此，一个复数可用复平面上的一个点来表示，复平面上点的坐标就是复数的实部和虚部。例如，复数s₁=1+j3，在图5．2－1的复平面上表示为点s₁。

图5．2－1 s平面和其上的一个点S₁

(2)复变量

可以取得各复数值的变复数称复变量，它能够用复平面上的动点来表示。

(3)复变函数

如果在复平面s上的D域内，对于任意点s=x+jy都有对应的复数值w=u+jv，那么就说w是s的复变函数，并记为

w=F(s)(5．2－1)

自变量s=x+jy的每一个值可以用s(x，．y)平面上的点来表示，而对应的函数值w=u+jv可用w(u，v)平面上的点来表示。因此，从几何观点来看，给定了一个复变函数(5．2－1)，就是给出了一个从s平面上点(x，y)到w平面上点(u，v)之间的对应关系，如图5．2－2。

图5．2－2 s平面与w平面对应关系图

(4)复变函数的零点、极点和零点—极点图

解析函数 如果复变函数F(s)在一个域D内每一个点上都是可导的时候，就说F(s)是域D上的解析函数，或说F(s)在域D上是解析的。

奇点 凡是使得复变函数F(s)为不解析的点，叫做复变函数的奇点。

零点和极点 对于复变函数w=F(s)，如果当s=a时有F(s)=0，则称s=a是函数F(s)的一个零点。如果当s→b时，有｜F(s)｜→∞，则称s=b是函数F(s)的一个极点。例如函数

s=－3为其一阶零点；s=－2为其三阶极点，s=j和s=－j为其另外两个一阶极点。

零点—极点图 在复平面上把一个复变函数的零点和极点的位置分别用“。”和“×”标志出来，并对高于1阶的零点和极点的阶数用括号标注在相应的零点和极点附近，这样的图就叫做复变函数的零点－极点图。例如，函数式(5．2－2)的零点—极点图如图5．2－3所示。

图5．2－3 复变函数的零点－极点图