4．直角棱镜的光学平行差①与角量偏差的关系

出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《光学设计手册修订版》第204页（2433字）

4．1 A棱差-反射棱镜的光学平面(屋脊面除外)与其所对的棱的平行差。记为γ_A

4．2 Ⅰ型直角棱镜的光学平行差与角量偏差的关系

4．2．1 第一光学平行差与光轴截面内角度偏差的关系

假设棱镜无A棱差。将棱镜展开成平板玻璃，则光轴截面与各棱均垂直。此时，第一光学平行差θ₁表征为光轴截面内AB、CA′两直线之间的平行差，如图3－11所示。

图3－11 Ⅰ型直角棱镜第一平行差

由图3－11可得：

同理可得

式中 △₁45°为∠ABC相对于公称值45°的实际偏差，其值可正可负；△₂45°为∠BCA相对于公称值45°的实际偏差，其值可正可负；△90°为∠BAC相对于公称值90°的实际偏差，其值可正可负；δ45°为两个45°角的实际值之差。

由公式(3－1)、(3－2)、(3－3)可得：棱镜的第一光学平行差是由光轴截面内角度偏差引起的。

4．2．2 第二光学平行差与A棱差的关系

假设棱镜在光轴截面内的角度偏差为零。取棱A垂直于光轴截面，则入射面和出射面两法线均位于(或平行于)光轴截面内。同时，反射面相对于棱A的平行差γ_A2，亦为反射面法线相对于光轴截面的垂直偏差。如图3－12所示。

图3－12 1型直角棱镜第二平行差

光线垂直于入射面入射，经入射面折射至反射面。由于反射面法线垂直偏离光轴截面，光线经反射面反射之后，也就偏离了光轴截面。

由向量反射公式：

A′=A－2(A·N)N (3－4)

式中 A为入射光线向量，单位向量；A′为反射光线向量，单位向量；N为反射面法线向量，单位向量。

对公式(3－4)微分，得

dA′=－2(A·N)dN－2(A·dN)N (3－5)

由于反射面法线垂直偏离光轴截面，所以dN垂直于光轴截面。

图3－13中用 ⊙表示垂直向上。

图3－13 光线的向量表示

又因为A位于光轴截面内，所以

将上式代入公式(3－5)，得

式中 α₀为入射角。

由公式(3－6)可以得到

dA′的大小：|dA′|=2cosa₀|dN| (3－7)

dA′的方向：与dN相同，即也垂直于光轴截面，在图3－13中用⊙表示。

在微小角量时，有 |dN|=γ_A2

又因为光线经反射面反射之后，至出射前与出射面法线在垂直于光轴截面方向的偏差——第二光学平行差，在微小角量时，亦为反射光线相对于光轴截面的垂直偏差|dA|。即

将上述两式代入公式(3－7)得

θ_Ⅰ=2γ_ACosα₀

在Ⅰ型直角棱镜中，入射角α₀=45°，代入上式，得

同理可证

式中 γA₁为入射面相对于棱C的平行差；γ_A2为反射面相对于棱A的平行差；y_A3为出射面相对于棱B的平行差。

由公式(3－8)、(3－9)、(3－10)可得：棱镜的第二光学平行差是由A棱差引起的。

4．3 Ⅱ型直角棱镜的光学平行差与角量偏差的关系

其关系式的求解方法与Ⅰ型直角棱镜相同。

4．3．1 第一光学平行差与光轴截面内角度偏差的关系参见图3－14

图3－14 Ⅱ型直角棱镜的第一平行差

4．3．2 第二光学平行差与A棱差的关系参见图3－15

图3－15 Ⅱ型直角棱镜的第二平行差

1－入射面、出射面；2－第一次反射面；3－第二次反射面

式中 γ_A1为入射面(出射面)相对于棱C的平行差；γ_A2为第一次反射面相对于棱A的平行差，γ_A3为第二次反射面相对于棱B平行差。