几何光学

出处：按学科分类—医药、卫生 上海医科大学出版社《视光学手册》第20页（5684字）

几何光学(geometric optics)是光学中以光的直线传播性质及光的反射和折射规律为基础的学科。

如上所述，光是在波与频率的基础上被定义的。但光成像时，我们通常还是把光作为射线来考虑。光是以直线传播的，即从初光源出发沿各方向直线传播。

当光线照射到一个物体的表面不能通过时，如果这个表面吸收光线的能量，则光能转化成热能或其他形式的能量；如果这个表面是高度磨光的(比如镜子)，则光线会被反射到原来的介质中。后一种现象被称为反射。

当光线照射到一个物体的表面时，入射光线与物体表面垂线的夹角叫做入射角。此垂线称为法线。反射线与法线所成的角称为反射角。对于平面或均匀弯曲的反射面，其反射角等于入射角，即斯涅耳定律(Snell law)。

如果光线射入折射率不同的透明介质，则其方向会发生改变。这种现象称为折射(refraction)。光线在进入新的介质时，只有很少部分的光线被反射，而大部分光线被折射。穿过介质界面的光线与法线的夹角，称为折射角。折射率(index)表示光线通过介质的速度。折射率愈高的介质，光线通过该介质受到的阻力愈大。这可以表示为下列等式：

折射率=光在空气中的速度／光在介质中的速度

两个介质之间的界面称为折射面。当光束以一个角度射向折射面时，一部分光线比其余光线较早进入新的介质，由于这部分光线被减速，而其余部分以正常速度传播，整个光束似乎被弯曲，即光的折射。如果光线从光疏介质(折射率相对低)进入光密介质(折射率相对高)，折射光线偏向法线；但如果光线由光密介质进入光疏介质，折射光线将偏离法线。

这就是斯涅耳定律，表达了折射角及其折射率的关系，即：

n·Sini=n’·Sini’

2．3．1 像移

图2－5显示了光线如何从光疏介质进入光密介质，再进入光疏介质的折射光路。在介质中由于光线的方向发生了改变，因此眼睛透过中间介质看物体，物体似乎改变了位置。这种现象称为像移(image displacement)，而像移与棱镜作用相关。

图2－5 棱镜作用与像移

图2－5中显示的像移情况，入射光线与出射光线不是相互平行的。棱镜的两折射面所形成的角称为棱镜的顶角(apical angle)，而与顶角相对的称为棱镜底(base)。顶角的大小以及材料的折射率决定了棱镜作用，而棱镜作用的大小决定了光线偏折的方向(图2－6)。对于薄的棱镜(顶角小于15°)，可用一个相当简单的公式来表示棱镜的偏向角(deviation)。偏向角为入射光线的延长线与射出光线的夹角。

图2－6 通过棱镜的光线折射

d=(n－1)A

式中d为偏向角，n为折射率，A为顶角。

通常，对于棱镜作用的大小，我们用棱镜度(prism dioptres)作为计量单位，以△表示。光线穿过棱镜面，在距1m处偏移1cm，我们称此棱镜作用为1个棱镜度(1^△)。可用下列公式表达：

1cm／1m=1^△

例如，一片棱镜使光线距棱镜1m处偏折4cm，我们称此为4^△。

棱镜的偏向角也可用角度表示：

1°≈1．75^△；1^△≈0．57°

如上所述，如果平行光线通过棱镜，从光线射出的位置通过棱镜看物体，似乎物体的位置移动了，这种像移的情况如图2－7所示。像位置总是偏向棱镜顶的方向，射出的光线总是向棱镜底偏折。

2．3．2 聚焦

从点光源发出的光线，经过某介质后光路可能会发生改变而聚于一点，同样，经一凹面镜反射后也会聚于一点。这一点我们称之为焦点(focal point或focus)。

如果透镜面是球面，所有光线会聚于一点。如果透镜面是圆柱面(cylindrical surface)，也就是说它的曲率是变化的，那么必定存在一条最大曲率子午线和一条最小曲率子午线，这种子午线被称为主子午线(principal meridians)。通过镜面不同子午线的光线将产生不同的焦点。如果镜面的一条子午线是完全平直的，而另一条子午线有曲率(最大屈光度)，则该透镜称为单柱镜(simple cylinder)。如果在两个主子午线镜面都存在屈光度，则镜面是由一球面与一柱面的联合。这种柱镜被称为球柱镜(sphero cylinder)。

凸透镜(Convex lens)使所有通过的光线会聚成一点，因此，具有一个实焦点(real focus)。然而，凹透镜(concave lens)使光线散射，因此不能形成一个实焦点。为了测量镜片屈光度，在散射光线的反方向延伸，我们可以找到一点，似乎散射光线是由该点发出的。这一点称为镜片的虚焦点(virtual focus)。

2．3．3 符号规则

表达光线通过镜片形成焦点的光路(optical diagrams)结构如下：光线总是从图的左方发出，射向右方；镜片总是处于图中间的部位；由镜片至左边光源方向的距离以负值表示，镜片至右边的距离以正值表示。

镜片的面以曲率单位表达。镜片的度数以聚焦力(focal power)表达，其单位为屈光度(dioptres，D)。屈光度的值等于焦距的倒数。对于一单面镜，其计算公式为：F=1／f。式中f是焦距长度。

如果光线经过镜片后发散，我们知道该镜片为凹透镜，也称为负镜片。如果光线经过镜片后会聚，则该镜片为凸透镜，也称为正镜片。

图2－7 棱镜的像移方向

2．3．4 镜片屈光度

一片眼镜片由两个镜面所组成，镜片的折射率及其形态决定了镜片的尺寸及成像的质量。这两个镜面的屈光度分别以F₁和F₂表示。镜片屈光度的计算公式如下：

F1=(n’₁－n₁)／r₁ F2=(n’₂－n₂)／r₂

式中n₁和n’₂为空气的折射率；n’₁和n₂为镜片材料的折射率；r为镜片表面曲率半径。

如图2－8所示，镜片的周围介质是空气，因此我们知道n₁和n’₂都等于1。图中A₁和A₂表示镜面的第一顶点和第二顶点，A₁和A₂之间的距离表示镜片的厚度(t)；C₁和C₂为镜片第二曲面和第一曲面的曲率中心(圆心)，C₁和C₂的连线即为镜片的主光轴；F和F’是整个镜片的第一焦点和第二焦点。图中两个镜面都为凸镜面。

图2－8 屈光度的计算参数

每个镜片都具有主焦点，并由此决定镜片的屈光度。主焦点的测量是从空气中的平行光线通过镜片后在空气中聚焦成一点而测得。镜片材料的折射率以及两镜面的曲率决定了主焦点的位置。理论上的薄透镜不计光线通过透镜两表面间的距离，而厚透镜则必须考虑它的厚度。光线通过镜片会聚的一点称为第二主焦点(second principal focus，用F’表示)。在主点P和P’之间存在一点O，被称为镜片的光学中心。连接P点和假设点(theoretical points)H、G以及P’、H’、G的直线平面被称为镜片的主平面。主平面位于这样的位置：即从物体发出的光线聚焦在主平面上形成一正立的像，其大小与原物体一致。主平面可以位于镜片之中，也可能位于镜片之外，取决于镜片的形状。它们与主光轴(principal axis)即通过两曲面曲率中心轴的交点即为主点(principal points)。在图2－9和图2－10中第一主点标为P，第二主点标为P’。通过光学中心的光线具有以下的特点：射出光线与入射光线保持平行。入射光线与主光轴的夹角(θ)和射出光线与主光轴的夹角(θ’)大小相同。因此入射光线通过P点，则出射光线必由P’射出，且方向不变。

图2－9 透镜的基点

图2－10 透镜的主点

2．3．5 镜片的物理形态

各镜片如果屈光度相同，其组成的形态可以不同，镜片的前曲面与后曲面决定了这种形态。其组成的曲面不同，则会产生许多光学性质的区别，比如像差等。

为了便于理解，我们常将镜片的厚度忽略不计，而称为薄镜片。薄镜片的屈光度可以通过测量镜片的顶点到焦点的距离来表达。如焦点位于0．5m处，则镜片的屈光度为：

(1)单平面镜片 镜片有一面是完全平的，因此这种镜片的屈光度完全由另一曲面决定。这种镜片通常轻而薄，但其缺点是光学性能较差。

(2)双凹面或双凸面镜片 这种镜片的两面都是凸面或都是凹面(当然曲率可以不同)，其总屈光度为两曲面屈光度的代数和。这种镜片的优点是度数高，但是其光学性能较单平面镜片更差(图2－11)。

图2－11 镜片的形式

以后，又发展为镜片的前曲面都为凸面而后面都为凹面的镜片。对于负镜片，常在其前表面采用+1．25D的标准曲面或称为基弧，而对于正镜片则在其后曲面采用－1．25D的曲面。后来，则将采用基弧为+6．00D的镜片称为矫正曲率镜片。

在目前的实际工作中，不同的眼镜片制造商对前曲面几乎都采用凸面，并将这一面定为基弧。但基弧略有不同，其目的是使各种屈光度的镜片减少像差和缺陷，并且更美观。

2．3．6 有关镜片屈光度

(1)后顶点屈光度 对于眼镜片来说，最广泛使用的测试镜片屈光度的方法，是通过测量镜片的后曲面顶点至焦点的距离而得到的，因此称为后顶点屈光度。测试时，可以忽略镜片的主平面、厚度以及镜片的形状。镜片屈光度计(lensometer)可以测出镜片的后顶点屈光度。国际标准(ISO)用后顶点屈光度来规定球镜和柱镜的允许误差。

(2)有效屈光度 如果忽略镜片的位置，任何镜片可在给定点产生一个焦点。这样的镜片，虽然它们的顶点位置或镜片屈光度不相同，但它们的焦点位于相同的位置，我们可以认为它们具有相同的有效屈光度。如果一镜片的焦距为1m，另一镜片焦距为0．5m，但后者放在靠近共同焦点0．5m处，则两片镜片的有效屈光度是相同的。同样，如果一镜片移开或靠近某点，其有效屈光度则不同。有效屈光度的计算公式为：Fe=F／(1－dF)。式中Fe是有效屈光度，单位是D；d是移动距离，单位是米(m)。

有效屈光度的概念可以使用于前后曲面的曲率不同、厚度不同的镜片，但光线通过这些镜片的后曲面后可聚于相同一点。如一镜片的双曲面都为凸面，或另一镜片的前曲面为凸面，后曲面为凹面，两者可能有相同的有效屈光度。在矫正屈光不正时，有效屈光度概念对配镜处方有实用价值。

图2－12(1)显示，在空气中有一薄镜片，屈光度为F，于无穷远处的物体发出的光线通过镜片，聚焦于F’处。如果我们将另一屈光度为Fx的薄镜片放置于x处，它也可以在F’处聚焦［图2－12(2)］。即Fx的焦点与F’重合，因而与镜片F有相同的作用。如果f’是第一镜片的焦距，f’x是第二镜片的焦距，那么我们得到f’x=f’－d；第二镜片的屈光度为：

Fx=l／f’x=1／(f’－d)

=1／(1／F－d)=F／(1－dF)，

即Fx=F／(1－dF)

图2－12 透镜的有效屈光度

我们称Fx为有效屈光度或第一镜片在x点的有效屈光度。

(3)近似法(approXimate) 镜片的近似屈光度值可通过简单公式F=F₁+F₂而求得，即总屈光度为两镜面屈光度值之和。这种方法忽略不计镜片的厚度和形状，故叫做近似法。比如一镜片具有两曲面，一曲面为+4．00D，另一曲面为+3．00D，使用近似法计算，总屈光度为+7．00D。