悖论

指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类自相矛盾的命题。这类命题也可表述为：一个命题A，A蕴涵非A，非A蕴涵A，A与自身的否定非A等值。

历史上著名的悖论 历史上最早发现的悖论是古希腊麦加拉学派的说谎者悖论，用现代形式表述是“这句话是谎话”。这句话是真的还是假的?如果它是真，即“这句话是谎话”是真的，它就是谎话，而谎话是假的，那么它就是假的；反之，如果这句话是假的，即“这句话是谎话”是假的，它就不是谎话，那么它就是真的。“这句话是谎话”是一个自相矛盾的命题，是一个悖论。

悖论之所以引起现代逻辑学家和数学家的很大注意，是由于19世纪末20世纪初，在G．康托尔的集合论中发现了几个著名的悖论：①布拉里－福蒂悖论，即“最大的序数”或“包括一切序数的良序集”悖论。康托尔本人在1895年已经发现了这个悖论，并在次年告知D．布尔伯特。②康托尔悖论，即“最大基数”或“一切集合的集合”悖论。设S为一切集合组成的集合，P(S)是S的幂集。根据S的定义，P(S)的元素都是S的元素，P(S)是S的子集，因此P(S)的基数不大于S的基数。但是，根据集合论中一个定理(康托尔定理)，P(S)的基数大于S的基数。这就得出矛盾。③罗素悖论，即“一切不是自身分子的集合所构成的集合”悖论。根据排中律，一个客体或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对一个给定集合，问它是不是自身的分子，即问是否属于它自己，看来是有意义的。把集合S定义为：S由一切不是自身分子的集合所组成，即任一集合x，x属于S，当且仅当，x不属于x，现在问：S是否属于S?如果S属于S，根据S的定义，则S不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，则S属于S，于是，S属于S，当且仅当，S不属于S。这是一个逻辑矛盾。

在集合论中发现悖论，特别是罗素悖论，引起了逻辑界和数学界的震惊。(例如，弗雷格在得知罗素悖论后，就曾惊叹他的著作《算术的基本法则》的“基础垮掉了”。而R．戴德金则推迟了他的《什么是数的本质和作用》的再版。)因为，对于布拉里－福蒂悖论和康托尔悖论，由于包含序数和基数这样复杂的概念，还存有一种希望，它们可能是由于某种技术性的错误引起的，从而有可能通过发现和改正错误而加以排除。但是罗素悖论则不然，它是由最基本的逻辑概念、集合和属于关系形成和表达的，其中没有任何技术上的错误，这就不能不引起人们的严重关切。

继发现集合论中的几个著名悖论之后，人们又相继发现了几个不在集合论范围内的悖论。其中最重要的是理查德悖论，即“一切可以用有穷个字定义的实数”悖论。这个悖论的一个变形是一个比较简单的表述，即“不能用少于17个字定义的最小整数”。这个句子定义了那个整数，而只用了16个字。由于原来形式的理查德悖论的论证和著名的康托尔对角线法相类似，从而更突出了探究悖论的性质、产生的根源和寻求解决方法的迫切性。

研究悖论的意义 悖论问题对逻辑学的发展产生了深远的影响，它导致了两个重大的进展，即类型论的创立和集合论的公理化(见公理集合论)。悖论问题也与数学基础的研究有密切的关系。一般说来，悖论的产生和某个原则有关，或者和某种说话方式有关，甚至和某个更一般的原则有关。康托尔集合论中出现的悖论，就牵涉到这样一个原则，即一个性质定义(决定)一个集合，或者说，具有某个性质的元素的全体组成一个集合。精确地陈述出来，就是概括公理(模式)。说谎者悖论和说话方式有关，即一句话说及它自己，对自己作了断定。在逻辑学家和数学家中间，对产生悖论的根源有不同的看法，并沿着不同的途径解决悖论问题。B．罗素认为，产生悖论的根源在于假定一类事物可以包括此类的整体(集合)作为分子。例如，一切集合所构成的类还是一个集合。更精确地说，一类事物可以包括只能根据此类的整体才能定义的东西作为分子。罗素把这种类称为“不合法的全体”，而承认它就会引起“恶性循环”，导致自相矛盾。为了消除产生悖论的根源，罗素提出“(禁止)恶性循环原则”，并建立了类型论。不过，“(禁止)恶性循环原则”是一剂太猛的药，因为不符合这个原则的并不总是导致悖论，它所排除的不仅是悖论，而且还排除了许多重要的数学内容。例如实数理论中的一条基本定理——最小上界定理，即“如果一个实数集合有上界，那么它就有最小上界”，在按照“(禁止)恶性循环原则”建立的系统中就是不能表达的。为了弥补这个缺陷，罗素又引入了所谓可化归性公理。但是，增加了这一公理，实质上就取消了原来为排除理查德悖论等悖论、而在类型论中提出的对同一类型的谓词区分层次的要求。罗素为解决悖论所做的工作，实际上是引入新的逻辑原则，建立的新的逻辑理论。按照许多数学家的意见，解决集合论中的悖论问题，并不需要建立新的逻辑理论，产生悖论的根源也不是由于违背了某条原则，而是在于集合概念不精确，并允许“太大的”集合存在，如“一切集合的集合”，“一切序数的集合”等。

与罗素建立类型论差不多同时，德国数学家E．策尔梅洛于1908年实现了集合论的公理化。策尔梅洛的基本想法就是对集合的大小加以限制，并提出一组关于集合的公理，认为只有满足公理的客体才是集合。他的公理集合论消除了康托尔集合论中的已知悖论，同时也不影响许多重要的数学定理，如对最小上界定理的陈述和证明。但是，它只是表明了可以排除已知的悖论，而未从理论上保证公理集合论不会再出逻辑矛盾或悖论。因为K．哥德尔1931年的不完全性定理表明，要证明公理集合论的协调性，有根本性的困难。

1926年，英国数学家F．P．拉姆齐提出把悖论分成逻辑悖论和语义悖论两类。前者又称为语法的，它包括布拉里－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论等；后者又称为认识论的，包括说谎者悖论和理查德悖论等。拉姆齐认为有更简单的方法，即通过区分对象语言和元语言这种更简单的方法，就能解决语义悖论。因此，罗素为消除语义悖论而提出的那种很麻烦而又引起困难的分支类型论，就不是必需的。随着语义学的发展，真实性概念可以用集合论概念精确定义，因此两类悖论之间的区别也不是绝对的。