波斯特代数

相应于古典命题逻辑的代数概念是布尔代数，而相应于波斯特多值系统的代数概念就是波斯特代数。一个n+1阶的波斯特代数就是满足下列条件的一个带最大元1和最小元0的分配格L：

①L有一条子链0=c≤c≤…≤c=1使得L中的每个元素a都可表示成a=(a∧c)∨…∨(a∧c)，这里的各个a(1≤i≤n)都是L中的有补元(即，L中有元素a使得a∧a=0且a∨=1)；

②如果a是L的一个有补元而且对某个i而言有a∧c≤c－1，那么a=0。

波斯特代数L中元素a在①中的表示形式一般不是唯一的，但只要要求a≥a≥…≥a，那么a的这个表示形式也就唯一确定。利用这种唯一性表示，可以给出波斯特代数的一个用等式表示的定义。每一个布尔代数同构于一个集合域，对于n+1阶波斯特代数也有一个类似的结果。这结果跟n值集的概念有关。定义于类U上的一个n值集就是从U到真值集｛0，…，n－1｝的一个映射。等式X(a)=k读成：‘a是X的元素’具有真值k。U上的全体n值集记成P(U，n)。在P(U，n)上可以定义运算∨、∧和关系≤如下：

X∧Y(a)=min(X(a)，Y(a))

X∨Y(a)=max(X(a)，Y(a))

X≤Y iff对一切a∈U有X(a)≤Y(a)。

P(U，n)关于运算∧及∨形成一个分配格。P(U，n)有最大元1(即，以n－1为值的常值映射)和最小元0(以0为值的常值映射)。令C为定义于U上且以k为值的常值映射，则P(U，n)有一条子链：0≤C≤…≤C=1。定义于U上的任一个n值集X都可表示成下面的形式：

X=(D(X)∧C)∨…∨(D(X)∧C)；

这里，当X(a)≥k时D(X)(a)=n，而当X(a)＜k时D(X)(a)=0，1≤k≤n－1。一个具体的n+1阶波斯特代数由定义于U上的一族n+1值集组成，交、并等运算及关系≤都如上定义。1945年C．I．华德证明了每一个n+1阶波斯特代数同构于一个具体的n+1值集波斯特代数。n+1阶波斯特代数虽然不是布尔代数，但仍具有布尔代数常有的许多性质。例如，波斯特代数是满足先进式(x→y)+(y→x)=1的海廷代数，也就是说它们是相对斯通代数。泛代数、范畴论和格论等领域的进展加深了对波斯特代数结构的理解。例如，波斯特代数也是布尔代数和链的余积(coproduct)，所以它们的性质常常可以通过考虑对偶结构而获成功的研究。

把n+1阶波斯特代数作为抽象的代数结构来研究，是由P．C．罗孙布隆于1942年开创的。他制定了能完全确定有穷波斯特代数的结构的公理，不过由于公理过分复杂而限制了他的研究范围。1960年，G．艾普斯坦对罗孙布隆的公理作了相当大的改进，给出波斯特代数的完备表示理论，并证明了许多定理。艾普斯坦最重要的结果之一是，每个n+1阶(n＞0)波斯特代数同构于从布尔空间到(离散)n+1元链的连续函数的一个格。80年代以后，有更多的文章出现在这一课题上，并且有各方面的数学家逐渐把他们的注意集中于波斯特代数的推广。