第三次数学危机

指集合论悖论的出现，动摇了整个数学的基础，从而引起西方数学界和逻辑界的激烈争论。从数学史来说，第一次数学危机是指无理数的发现，第二次数学危机是指关于微积分基础的争论。第三次数学危机的产生有其背景。19世纪70年代，G．康托尔创立了集合论，这是一种素朴的、直观的集合论。在集合论建立前后的一段时间里，数学有很大的进展。在公理学发展的过程中，数学家利用模型方法证明了非欧几何相对于欧氏几何的一致性。D．希尔伯特也用模型方法，把几何命题表示为实数代数的命题，证明了欧氏几何相对于实数理论是一致的。这样，实数理论就成了几何的基础。经过第二次数学危机，作为微积分基础的极限理论被奠基在实数理论之上。在这之后，R．戴德金德把实数定义为有理数的划分，每一个实数都能把一切有理数划分为两组，两组没有公共的元素，而合起来则包括有理数域的一切数。这实质上是把实数定义为有理数的无穷集合，也可化归为自然数的无穷集合。G．康托尔对实数也作了类似的处理，把实数看作一个收敛的有理数序列。因此，经过戴德金德和康托尔的工作，实数理论相对于自然数理论和集合论的一致性便确立起来了。以后，戴德金德、康托尔和G．弗雷格等又利用集合的概念定义了自然数，这样就把自然数理论的一致性化归为集合论的一致性。因此，集合论的一致性成为整个数学一致性的基础。

然而，正当数学家们还没有来得及证明集合论一致性的时候，集合论中的悖论却接踵而至，1897年意大利数学家C．布拉里-福蒂发现了最大序数的悖论。这一悖论是说：每一良序集皆有一序数，考虑由所有序数组成的良序集W，如果它的序数是α，则在W中的每一序数都小于α，这与W包括所有序数的假设相矛盾。1899年，康托尔发现了最大基数的悖论。这一悖论可如下陈述：假设S是所有集合的集合，而S是S的所有子集的集合，因此对任一属于S的元素x，根据S的定义就有x属于S，也就是说S包含于S，由此可得．S的基数小于或等于S的基数，但据康托尔定理：一集合的幂集(所有子集组成的集合)，其基数较原集合的基数为大，也就是说，S的基数大于S的基数，这与上述结果矛盾。1902年B．罗素发现了所有不是自身元素的集合的集合悖论(后被称为罗素悖论)。这一悖论可陈述为：把所有不是其自身元素的集合组成一个集合K，此集合可定义为：任一集合a属于K当且仅当a不属于a，假定K是自身的元素，据定义，K就不是自身的元素；反之，如果K不是自身的元素，据定义，K就是自身的元素，也就是说，K属于K当且仅当K不属于K，这是一个逻辑矛盾。此外，还出现了其它悖论。

集合论悖论的出现表明，在康托尔的素朴集合论中有重大缺陷。为了克服这些缺陷，解决第三次数学危机，数理逻辑学家和数学家们提出了不同的解决方案。E．策尔梅洛在1908年建立了公理集合论，这一理论后来得到了充实和发展。罗素在1908年和1910年提出了逻辑类型论。公理集合论和类型论，可以排除已发现的集合论悖论，但这并不能保证数学理论里永不再出现逻辑矛盾。在上述情况下，D．希尔伯特提出了直接证明(绝对证明)全部数学一致性的方案，由此便发展出证明论和模型论，这是数理逻辑的重要组成部分。