对角线方法

集合论中的一个重要方法。G．康托尔在证明实数集是不可数的，任一集合S都存在一集合(比如S的幂集合P(S))其基数大于S等重要结果时都使用了这一方法(见康托尔定理)。为说明这一方法，我们来证明集合［0，1］是不可数的．为此，我们分下述步骤：

第一步(对角线假定)，假定［0，1］是可数的，即可数个元素

　　a，a，a，…，a，…… (*)

全部枚举完了(一个不剩)［0，1］中元素．其中(*)中任一a都是某一实数，并且0≤a≤1．由实数理论，它总是可以表示为0．aaa……a…，a为整数且0≤a≤9，所以有

第二步(取对角线)，据(* *)我们造一数b，使得0≤b≤1，对于(* *)，a总是0与9之间的一整数，令b与b为如下的数

因为b在小数点后i位上与a不同，并且对任一自然数i都是如此，故b不在(*)中，然而由b的定义，有0≤b≤1，即b在［0，1］中．

第三步(对角否定)，前边已指出b不在(*)中且b在［0，1］中，这与第一步题设(区间［0，1］中的数全部已被(*)所枚举)相矛盾．因此，假定［0，1］可数就导出了矛盾，从而它是不可数的．

上述证明过程，就是对角线方法的说明，它包括对角线的假定，取对角线和对角否定三个主要步骤．

康托尔运用对角线方法证明了若干重要结果，同时也揭示了这一方法的重要意义．这一方法在许多领域内都有重要应用．