多値谓词逻辑

多值逻辑的量词理论。多值命题可以很自然地推广到量词上，J．B．罗塞(1907～)于1939年开创了这方面的研究。作这样推广的根本想法就是，把全称量词看成合取∧的推广，而把存在量词看成析取∨的推广。以卢卡西维茨的n+1值系统为例，我们可以如下来进行推广。首先推广它的语言，使之包括个体变项、谓词和量词、，所得的语言记为L。对于给定的非空个体集I，对L附加个体常项使得I中的个体与它们成一一对应，所产生的语言记为L(I)。为L(I)中不含自由变项的原子语句指定｛0，1，…，n｝中的值的任一个指派就是L的一个n+1值结构。给定L的一个n+1值结构，则L(I)中不含自由变项的原子语句A就有一个值［A］。这也可以扩张到其它语句上，关于联结词可以按原来系统中的规定来求值，而关于量词的规定如下：

这里，a是对应于个体a的常项。仅以0为特指值，则L的量词说法下的推论关系是可以公理化的。一般来说，无穷值逻辑量词理论的公理化问题是比较难的。

多值逻辑的量词也可按A．莫斯托夫斯基推广古典逻辑的量词的方式来进行推广。给定一个定义于某个体域D之上的一元谓词P，莫斯托夫斯基把量词Q理解成一个二元函数：

(Qx)P(x) 相当于 Q(ξ，η)；

这里，是D中使P(x)成立的个体x的个数，而η是D中使P(x)不成立的个体x的个数。这样，古典逻辑中的存在量词就相当于ξ≠0时的Q，而全称量词则相当于η=0时的Q。当出现有n个真值v、v、…、v时，我们可以类似地将量词Q理解成一个n元函数：

(Q．x)P(x)相当于Q(ξ，ξ，…，ξ)；

这里，ξ是D中使P(x)具有真值v的个体x的个数，i=1，…，n。相当于条件ξ≠0(i=1，…，n)，可以引进量词i，(ix)P(x)是真的当且仅当D中有个体x使得P(x)具有真值v；相当于条件ξ+…+ξ+ξ+…+ξ=0(i=1，…，n)，可以引进量词i，(ix)P(x)是真的当且仅当D中所有个体x都使得P(x)具有真值v。这样广义的量词概念使得处理多值逻辑的量词更为方便。

除了个体量词外，在多值逻辑中也可考虑命题量词，也就是量化变元以命题为值的量词。考虑命题量词对于阐明某些多值逻辑系统的基本特征是很有意义的。