《非标准分析》

美国逻辑学家、数学家A．罗宾逊(1918～1974)写的一部专著，出版于1966年，1970年第二次印刷，1974年修订后再版。此书报告了作者在60年代初创立的非标准分析的发展状况。所谓非标准分析，就是借助于无穷大和无穷小数用现代数理逻辑的概念和方法为微积分理论提供一个适当的框架。全书共十章。第一章介绍此书的目的和内容概要，并且指出非标准分析方法不仅在阐明旧的理论而且在寻找新的结果方面都是对标准方法的有效补充。第二章介绍全书所需要的数理逻辑工具，包括一阶理论和高阶理论，以及紧致性定理的证明。该定理在书中起着特别重要的作用。第三章详述用作非标准算术和非标准分析的框架的数学结构的基本性质，表明这些结构为无穷小理论提供了充分的基础；引进一阶和高阶微积分，并把它们应用于古典微分几何中的一些简单问题。第四章是无穷小理论在(非度量的)拓扑空间中的一个推广应用。在该推广中对拓扑学的各种基本概念重新加以表述；特别是，由此获得了紧致空间的显著特征。第五章是实变元函数，在非标准分析的框架中定义勒贝格函数，并证明一些标准的定理；还研究了施瓦茨的分配理论，表明非标准分析为讨论分配的局部值提供了有效的研究工具。第六章是复变元函数的非标准理论，包括多项式的分析理论，全函数的例外值理论。第七章正规线性空间理论，从不同角度研究紧致算子的非标准理论，特别证明了希尔伯特空间中有紧致平方的线性算子具有非平凡的不变子空间。第八章是拓扑群和李群的非标准理论。在这个理论中，群的单位元的无穷小邻域存在并且也构成一个群。这个群体现了一个给定的拓扑群或李群的无穷小群的直观概念。第九章是在非标准分析的框架内的几个专题研究。应用变分法讨论了黎曼映射定理和势理论的第一边值问题(即狄尼克雷问题)；还讨论了流体动力学中的一些基本问题。最后一章，作者从数学和数学哲学两个方面，就与无穷小理论相关的微积分发展史中的某些阶段作了一些简单的评论。