关系

集合论中的一个基本概念，也是逻辑学中的一个重要术语。一集合S，如果它的任一元素都是一有序对，则称S为一关系。其中有序对是一通常的概念，比如，平面上的一点可用它的坐标表示为(x，y)(有时记作〈x，y〉或其它表示法)。在日常生活中，也有许多关系，如同学、朋友、父子、母子、夫妻、师生等都是关系的具体例子。

在集合论中，常把有序对作如下定义：

其中｛x｝是x的单元集合，它恰好有一个元素x，｛x，y｝为无序对集合，它恰好有两个元素x与y，但没有序，即｛x，y｝=｛y，x｝。同样｛｛x｝，｛x，y｝｝是｛x｝与｛x，y｝的无序对集合，对于任意的对象(当然也可以是集合)x，y，z，u而言，我们有〈x，y〉=〈z，u〉当且仅当x=z且y=u。这就体现了有序对的特性。

一集合S是一关系，当且仅当x(x∈S→yz(x=〈y，z〉))。今后，常用R或加下标R，R等指称关系。

关系的定义域 假定R为一关系，它的所有元素(有序对)的第一个分量所组成的集合叫做关系R的定义域，并且记做dom R，用公式表示，关系R的定义域domR可写为

对于一关系R来说，为了简便，常用R(x，y)或xRy表示〈x，y〉∈R，也用R(x，y)或xy表示(x，y)R。

关系的值域 假定R为一关系，它的所有元素(有序对)的第二分量所组成的集合叫做关系R的值域，并且记做ran R，用公式表示关系R的值域ran R，可写为

关系的域 关系的定义域与值域的并集合叫做关系的域。对于一关系R来说，常用符号fldR表示R的域，因此，有

fldR=domR∪ranR

二元关系 如上所定义的关系，即有序对所组成的集合就是二元关系。这一名称常常是相对于三元关系、四元关系甚至一般地n元关系而言的。

三元关系 为定义三元关系，首先定义三元有序组，对于任意的对象x，y，z，称

为三元有序组或有序三元组。对于任意的对象x，x，…，x，称

为有序n元组。由有序三元组所组成的集合称为三元关系，由有序n元组所组成的集合称为n元关系。不难看出，三元关系甚至一般地n元关系都是借助二元关系定义的，都是二元关系的特殊情况。

函数 二元关系R满足单值性质时就称这一关系R为一函数。所谓单值性是指对于任一x，至多有一个y使得R(x，y)成立，换言之，若x∈domR，就一定存在并唯一的y，使得R(x，y)，用公式表示可以写作x∈domR!yR(x，y)，一般地可以写作x!yR(x，y)，这可以用下述公式定义：

x!yR(x，y)x(yR(x，y)∧z(R(x，z)→z=y))

一对一的函数 一函数f满足单一性时就称它是一个一对一的函数，也就是说，对于任意的x，x，y，y，〈x，y〉∈f且〈x，y〉∈f，如果x≠x，则y≠y。有时也称它为一对一的关系或1－1关系。

一一对应 对于任意给定的集合S与S，如果存在一个一对一的函数(关系)f，使得S=domf，S=ranf，则称集合S与S是一一对应的。

关系有许多重要的性质(见偏序关系、线序关系与良序关系)并由这些性质导致了许多重要的研究和结果。