公理集合论
数理逻辑的主要分支之一，是用现代公理化方法重建(素朴)集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。所谓“重建”就是逻辑与直观集合论相汇合，建立形式集合论，它既可保存并发展集合论的成果，又可以避免已发现的悖论，使集合论建立在严谨的基础之上。不同的公理系统的产生也在于“重建”时对直观集合论的理解的不同所引起的。元数学主要是研究重要原则(包括公理)间的相对协调性与独立性的问题，新公理包括强无穷公理，不同层次的概括公理等方面的研究。公理集合论是正在蓬勃发展的一个研究领域，文章与结果在不断地增长着，它是一个引人注目的领域。
E．F．F．策尔梅洛于1908年首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论，20世纪20年代经A．A．弗兰克尔和A．T．司寇伦加以改进和补充，得到常用的策尔梅洛－弗兰克尔公理系统，简记为ZF。ZF是一个形式公理系统，建立在有等词和属于关系“∈”的一阶谓词演算(常称为集合论语言或ZF语言)之上。它的非逻辑公理有：外延公理、空集合公理、无序对公理、并集合公理、幂集合公理、无穷公理、分离(子集)公理模式、替换公理模式、正则(基础)公理。如果另加选择公理(AC)则所得到的公理系统简记为ZFC(见集合论公理系统)。
已经证明：ZF对于陈述集合论是足够的，它能避免已知的集合论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言和工具。
直观的概念，诸如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数、自然数、有理数、实数及其运算、顺序等等都可以借助于ZF语言加以定义。也就是说，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达。数学定理也大都可以在ZFC系统内得到形式证明。因而作为整个数学的基础(至多范畴论例外)，ZFC是完备的。数学的协调性(无矛盾性)可以归结为ZFC的协调性。
序数与替换公理 如果一集合x的元素的元素也都还是x的元素，则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在∈下良序，而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如果0定义作空集Φ，1定义作0∪｛0｝，2定义作1∪｛1｝，等等，则0、1、2、……都是自然数，而且只有这些是自然数。
序数是自然数的推广。
“x是序数”是指集合x是传递集，并且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的类，令α，β∈On，α＜β
α∈β。这样，就用∈定义了序数间的＜关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。
每一自然数都是序数，全体自然数集ω=｛0，1，2，……｝也是序数。对任一集合x，令S(x)=x∪｛x｝。则当x是序数时，S(x)亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=S(β)。不是后继序数的序数称为极限序数。例如0、ω均为极限序数。
On虽为一真类，但〈On，＜〉具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ，即可应用超穷归纳原则：对于任给的一序数β，若每一α＜β都具有性质φ蕴涵β具有性质φ，那么所有的序数都具有性质φ。
在定义序数运算(加、乘、幂)时，需要用超穷递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(Fα)。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1、2、3、……，0、－1、－2、……。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。
事实上，任一良序集合〈W、＜〉，都有唯一的序数α使得〈W，＜〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可以定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α、β为序数，γ为极限序数，β+0=β，β+S(α)=S(β+α)，β+γ=(β+α)，即用关于α的超穷归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β·α和幂β，以及相应的运算性质，如结合律等。
可以证明：替换公理是独立于其他公理的。
正则公理 正则公理与其他公理不同，它不是断言某些集合的存在，而是与外延公理相类似限制一些集合的存在。提出它是为了研究ZF的模型。在ZF中可定义的数学对象都不以自身为元素；也未发现有集合x、y具有x∈y并且y∈x的性质或者集合序列x，x，……，满足：x∈x，x∈x，x∈x，……。1917年D．米里马诺夫首先提出良基集的概念。并把上述提到的非良基集合称为奇异集合。1922年弗兰克尔在策尔梅洛原来的公理系统补充了一条公理名曰限制公理，顾名思义，它是给出某种限制，以排除那些非良基集。1925年J．冯·诺伊曼，称它为正则公理。1930年策尔梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理：
x(x≠Φ→y(y∈x∧z(z∈y∧z∈x))
从而完成了ZF。
冯·诺伊曼出了一个分层，Ⅱ=V，其中V=,V=P（V）(α为任一序数,P（V）为V幂集合),V=V(γ为非O的极限序数)。这样，正则公理肯定了每一集合必在某一V中。如果再引进ρ（x）为x的秩。从而可依秩来作超穷归纳。
在AC成立的条件下，每一群都同构于一个在Ⅱ中的群；每一拓扑空间都同构于一个在Ⅱ中的拓扑空间，等等。而在数学讨论中常常是把同构的对象视作同一的；故正则公理并不给讨论带来局限。
基数 基数概念至为重要。两个集x、y称作是等势的，若能在x与y之间能建立一个一一对应。如果集合x与y等势，则记作x～y。由于AC，任一集合x都可以良序化，故有序数α，使得α～x，把这种α中最小的那个序数定义作为集合x的基数，并记作｜x｜。这样定义的基数｜x｜仍然是一个集合；而每一集合x都有一个｜x｜作为x的数量大小的一个刻划；并且如果x～y，则｜x｜=｜y｜。(见基数、阿列夫)
这样定义的基数是序数的一部分：即是不能与小于自己的序数等势的那些序数，也就是所谓初始序数。例如0、1、2、……，ω等都是初始序数，因而都是基数。而ω+1，ω+2，……，ω+ω等都不是初始序数，故都不是基数。所以紧接着基数0、1、2……，ω的基数是ω，它也记作。
如果AC不成立，则可利用正则公理来定义任一集合x的基数，记作，为一集合：
上述定义系D．S．斯科特于1955年给出的。
在60年代末期A．勒维还证明了在AC与正则公理都不成立的情况下，基数概念是不可定义的，也就是说，它不能够用集合给出刻画。
构成模型的方法 由哥德尔不完备性定理可知：如果ZF是协调的，则在ZF中不能证明自身的协调性。所以，在公理集合论中只考虑相对协调性问题。如：
Con(ZF)→Con(ZFC)?
Con(ZFC)→Con(ZFC+CH)?
解决这类问题的常用方法就是构成模型。在公理集合论中构成模型的方法不外三种：内模型法，外模型法(即力迫方法)，对称模型法。
内模型法是从已知的一个模型M出发，来定义M的一个子模型M；使得M满足ZF的一些公理或者ZF以外的一些公理。公理集合论的一个著名成果就是1938年K．哥德尔所给出的
Con(ZF)→Con(ZF+CH)
的证明，证明中用的就是内模型法，但是当时尚未如此命名。
迄至1951年J．C．谢泼德森已经把内模型法研究得很完善，并已知道要用此法去证明
Con(ZFC)→Con(ZFC+CH)
是不可能的。
外模型法(即力迫法)是P．J．科恩1963年所创，科恩据此而证明了CH的相对于ZF的独立性(见力迫方法)。
排列模型的想法始于弗兰克尔，当时他是用来证明AC及一些弱选择公理的相对协调性，适用于有原子(本元)的集合论。迭经A．莫斯托夫斯基、斯派克等人的改进而形成FMS方法，其与外模型法相结合即可构成对称模型法。
公理集合论的分支 在公理集合论的研究中，大量的工作是关于集合论模型的，此外，还继续以前素朴集合论对无穷组合问题的研究即组合集合论的研究。其中的一些问题是来源于D．寇尼希树引理和F．P．拉姆齐定理的推广。
另一分支则为描述集合论(亦称解析集合论)，主要是研究划分层次以后的实数子集的结构性质问题。因而，这一部分与分析、实数理论和递归论的关系较为密切。
即使限于上述两个分支的研究，也有许多问题要用到ZF(或ZFC)以外的附加假设才能判定。这里，常用的附加假设有：可构成公理；各种大基数公理，以及与AC不协调的决定性公理等。
在公理集合论中除ZF系统外，还有若干重要的系统，如：GB，QM，ZF，NF，ACG等。以及研究它们相互关系的结果。
哥德尔在1938年提出了可构成公理，并在20世纪60年代以来受到重视和发展。至于大基数的研究由来已久，但其作为附加公理亦是在20世纪60年代以后。几乎每一种大基数都是ω的某种性质向不可数基数的推广。可构成性(包括精细结构)、大基数理论、力迫法及相应的独立性证明已成为公理集合论的三大主流，同时它们又是三种研究工具。随着无穷博弈的诞生和博弈论在数学各分支的渗透，以及博弈论与逻辑的关系日益密切，决定性公理也愈受到重视。