基数
又称势，集合论基本概念之一，是日常语言中用以表示多少的数这一概念的推广和发展。按照G．康托尔的原意，集合A的基数是一切与A具有等势关系的集合(即存在一个双射，这一集合A的全部元素映到另一集合的全部元素)的共同特征，是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果，所以用
表示(也常用｜A｜表示)。G．弗雷格与B．A．W罗素分别在1884年与1902年把A定义为所有与集合A等势的集合所成的类，即=｛B｜B～A｝，这是一真类。这一定义虽然形式简单明了，但它不是一集合，不能是ZF系统中的对象。1928年J．冯·诺伊曼建议用一个特殊的与A等势的集合，即所有与A等势的序数中最小的那个作为A的基数，这样的序数称为初始序数。根据选择公理，对于任何集合A，它所对应的初始序数是必定存在并且是唯一的。由此，基数就是特殊的序数了。两个集合A、B具有相同基数的充要条件是A～B，这完全符合康托尔的原意。当一集合的基数为有穷序数时，称该基数为有穷基数，即自然数，否则称为超穷基数或无穷基数。它们所对应的集合分别称为有穷集合与无穷集合，在选择公理之下，可以证明集合A为无穷的充要条件是存在A的一个真子集合A，使得A～A。与自然数集合等势的集合称为可数集合，它的基数为ω，习惯上常用表示。整数集合Z，有理数集合Q，整系数多项式集合A〔x〕，代数数集合，n维欧氏空间E中的格子点集合等都是可数集的例子。每一个无穷集合都存在可数子集合，而可数集合的任一无穷子集合必为可数集合。在基数序的意义下，是最小的无穷基数，即可数集合是最小的无穷集合。可数集合与有穷集合一起合称至多可数集合，非可数的无穷集合称不可数集合。无理数集合，超越数集合，区间(a，b)中的点集合，〔0，1〕上的连续函数集合C〔0，1〕，n维空间E的点集合，定义在〔a，b〕上的函数集合等等都是不可数集合的例子。所有可数序数所组成的集合也是一不可数集合。
基数的初等运算及性质 设α，β为两个基数，A，B为两个集合，｜A｜= α，｜B｜=β，可以定义基数的大小关系及和、积、幂等运算如下：
α≤β当且仅当存在一个从A到B的单射函数；
α＜β当且仅当α≤β且α≠β；
α+β=｜｛0｝×A∪｛1｝×B｜
其中二集合C，D的叉乘为：C×D=｛＜x，y＞｜x∈C∧y∈D｝；
α·β=｜A×B｜；
α=｜A｜，
其中A=｛f｜f：B→A｝。
在上述定义中，虽然形式上需要通过集合A，B来表述，但事实上它们都只与α，β有关，而不依赖于A，B的选取。即对于任何集合A，B，只要｜A｜=α，｜B｜=β，所得的结果就保持不变。这就保证了定义的合理性。此外，和与积还能推广到任意基数列α(β＜γ)。设β＜γ时｜A｜=α则可定义
对于任何基数α，β，γ，下列性质成立。
①传递性：若α≤β且β≤γ则α≤γ。
②自反性：α≤α。
③反对称性：若α≤β且β≤α则α=β。
④强连结性：α≤β与β≤α二者必居其一。
⑤结合律：α+(β+γ)=(α+β)+γ。
α·(β·γ)=(α·β)·γ。
⑥交换律：α+β=β+α；α·β=β·α。
⑦存在恒等元：0+α=α；1·α=α。
⑧分配律：α(β+γ)=α·β+α·γ。
⑨同底幂的积：α·α=α。
⑩幂的幂：(α)=α。
⑾积的幂：(α·β)=α·β。
性质①～④说明基数的≤是一个全序关系，其中性质③称为康托尔－伯恩斯坦定理，它是集合论中的一个重要定理，可用以确定若干集合的基数。1895年康托尔给出了这一命题的等价形式：设A，B为两个集合，若A与B的子集合B等势，B与A的子集合A等势，则A与B等势；并在基数可比较的前提下给予证明。1896年F．W．K．E．施罗德在一篇论文的摘要中提到这条定理。他于1898年发表的证明虽不借助于基数的可比较性，但仍不完善。第一个满意证明是伯恩斯坦在1898年给出的，所以有些数学家称它为施罗德－伯恩斯坦定理。性质④称为基数比较定理，它是选择公理的等价命题之一，最初由G．康托尔提出：设A、B为两个集合，则或者A与B的某一子集合B等势或者B与A的某一子集合A等势，两者必有一个成立；并用以证明性质③。1915年由F．M．哈尔托格斯给予证明。关于基数的序与运算的其他重要性质还有：⑿对于任何基数κ，总存在一个比κ大的基数λ，即不存在最大的基数。这一性质是1873年首先由康托尔以下述形式提出的：任何集合A的幂集合P(A)具有比A大的势，即｜A｜＜｜P(A)｜，故称康托尔定理。由于在集合P(A)与集合2间存在自然的双射函数，所以这个性质也可表为2＞κ，其中x=｜A｜。于是，康托尔把无穷分成无穷多个严格递增的等级，奠定实无穷在数学研究中的地位。他在证明中所使用的对角线方法，也具有重要的方法论意义。已经知道最小的无穷基数是，并用表示大于的最小基数，用表示大于的最小基数。一般地，设α是任一序数，并且对于任何小于α的序数β，均已定义，则当α为某一β的后继序数时，规定是大于的最小基数，称为后继基数；当α为极限序数时，规定，称为极限基数。(参见阿列夫)这样就建立起序数与无穷基数之间的一一对应关系。⒀基数的加、乘运算具有许多通常熟悉的性质，如结合律，交换律，分配律等，但有些重要性质，例如单调律，却仅对有穷基数，即自然数成立。设λ，κ为任意基数，λ≥κ≥1，λ≥，则λ·κ=λ+κ=λ。这一结果与下述命题等价：对于任何无穷基数κ，κ·κ=κ+κ=κ，即任意κ个基数为κ的集合的和集，其基数为κ；或者，任意不超过κ个、基数不超过κ的集合的和集，其基数不超过x。特别地，当κ=时，就有任意可数个可数集合的和集是可数集；或至多可数个至多可数集合的和集是至多可数的。上述命题是选择公理的一个推论。将它深化一步，可得：对于任何序数α，与成立。⒁把基数的运算与序相结合而得到的结果，最重要一条是寇尼希引理(参见寇尼希引理)。
正则基数与奇异基数 一无穷基数κ，当κ的共尾性特征数cf(κ)(参见序数)等于κ时，就称κ为正则基数，当cf(κ)＜κ时，就称κ为奇异基数。
弱不可达基数 一正则基数κ，当所有小于κ的无穷基数按从小到大的次序排列所得的序型为一极限序数时，就称κ为弱不可达基数。
强不可达基数 一无穷基数κ，如果满足下述三个性质：
②若λ＜κ，则2＜κ，
③若S为一基数集合，＜κ，λ∈Sλ＜κ，则｜∪S｜＜κ，
那么就称κ为一强不可达基数，也称它为一不可达基数。
与基数有关的命题中有许多重大的结果和重要命题。(参见连续统假设、选择公理和强无穷公理)。