紧致性定理

模型论中的一个基础性定理：对于一阶语言中的任何公式集Φ，Φ有模型当且仅当它的每一有穷子集有模型。这个定理建立在著名的一阶逻辑的完全性定理之上。它的应用非常广泛。在比一阶语言具有更强表达力的一些逻辑系统中，如在无穷逻辑中，紧致性定理不成立。在紧致性定理不成立的逻辑系统中，有时有较弱的结论或能起类似作用的定理，以不同的小的概念(notionof small)代替有穷概念。

根据紧致性定理证明Φ有模型，只需证明Φ的每一有穷子集都有模型，而证明后者往往要比直接证明Φ有模型容易得多。这是它成为一阶模型论差不多到处应用的工具和在其它一些数学分支中起重要作用的主要原因。对于一个有无穷模型的理论，利用紧致性定理总可以造出它的非标准模型。例如，对实数系R的完全理论Th(R)，可以造一个非标准模型R。R与实数域R具有类似的性质，但在R中除普通实数外还有无穷小元和无穷大元。建立在R之上的理论称为非标准分析。非标准分析在严格的数学基础上，恢复了G．W．莱布尼茨的“更合于发明家的艺术”的无穷小方法。用无穷小方法，可以避开通常的“ε-δ”方法，用比较自然但又严格的方式定义R中数列极限概念和函数的连续性概念等，进而也可以比较简便地讨论各种分析数学问题。这个方法无论在刻划概念，证明定理、思考问题等方面都显出了优越性。这是紧致性定理对于数学的既有数学意义又有方法论意义的重要应用的一个例子。

紧致性定理与勒文海姆－司寇伦定理在某种意义上刻划了一阶逻辑区别于其它逻辑系统的重要特性。