卡尔纳普的归纳确证理论

R．卡尔纳普把概率概念分为两类：概率1和概率2。概率1是频率概念，卡尔纳普认为它不能作为归纳逻辑的基本概念。概率2是逻辑概念，也就是他的归纳确证度概念。卡尔纳普的语言系统(即语义模型)分为有穷系统序列(其中N遍历所有的正整数)和无穷系统，前者包括N个个体常项和π个(有穷个)一元初始谓词。除了有可数无穷个个体常项外与相同。和的个体常项和一元初始谓词必须满足独立性和完全性要求。的状态描述是一合取式，由从的每一基本句子对(由的任意原子句和它的否定组成)中恰取一个作为合取肢构成，其中这些合取肢按词典顺序排列。状态描述可以看作一可能世界，任一本系统的句子或在其上真或在其上假。所以一句子i的适域就是所有i在其上真的状态描述的集合。中对应某状态描述的结构描述是所有与该状态描述同构(两状态描述同构当且仅当它们之间有一个一一对应的常项置换)的所有状态描述的集合的析取。m是的关于状态描述的一正则测度函数当且仅当m满足①对的每一状态描述SD，m(SD)是一正实数；②m(SD)=1，其中VSD()是的所有状态描述的集合。m是的关于句子的正则测度函数当且仅当m满足①对的任意逻辑假的句子i(即i的适域是空的)，m(i)=0；②对中任意非逻辑假的句子i(即i的适域非空)，m(i)=(SD)，其中RA(i)表示i的适域。c是的正则确证函数(简称c函数)当且仅当m是的关于句子的正则测度函数且对的任意句子h，e，

c(h，e)也被称为根据证据e，假说h的(逻辑)确证度。由于c的定义只取决于e和h的适域之间的关系，而适域只依赖它自身的意义，其意义只由讨论中的语言系统的语义规则确定，无需任何语言外的、偶然的事实的知识，所以这样的确证度概念即概率概念就是一逻辑概念。令m，m，…分别是，，…的关于句子的正则测度函数序列，m是对应该序列的的关于句子的正则测度函数当且仅当对的任意句子i，m(i)=m(i)，若极限不存在，则m对i没有值。相应地可以定义的c函数：c(h，e)=c(h，e)。根据以上定义就有下列定理：

　0≤c(h，e)≤1，

　若e→h(即e→h逻辑真，也即e→h的适域就是该语言系统的所有的状态描述。)，则c(h，e)=1，

　若e→(h∧i)，则c(h∨i，e)=c(h，e)+c(i，e)

　若ee，则c(h，e)=c(h，e)

这就是一般的概率演算用于刻划概率函数的5条公理。m是的关于状态描述的对称正则测度函项，简称对称函数，当且仅当m是正则测度函数且SD同构SD时，m(SD)=m(SD)。卡尔纳普认为对称函数实际上是对传统无差别原则的一种定量的刻划。而m定义为：m是对称函数且若ST和ST′是的任意两结构描述，则m(ST)=m(ST)。如此定义的m实际上先把概率(总和为1)均分给状态描述的同构类(结构描述)，然后再在每一同构类中把指派给它的概率均分给其中的每一状态描述。对任意L(或)，恰有一m函数，因此由m定义的c函数也是唯一的。卡尔纳普认为c才是归纳确证函数，所以他把自己的定量归纳逻辑称为c理论。卡尔纳普的归纳确证理论对归纳逻辑的发展作出了巨大的贡献。但是该理论有很大的局限性，最严重的缺陷是在中，根据有穷证据，全称事实句的概率总为0。后人对此进行了种种批判和修改。