良序定理

集合论的一条重要定理，也是选择公理的一个等价形式。它是说：每一集合都是可以良序的(参见素朴集合论、良序集合)。1883年G．康托尔提出了有序集合、特别是良序集合的概念，他认为每一集合都是可以良序的。但是他并没有给出上述结论的证明。1900年D．希尔伯特提出的23个未解决的数学问题中，第一个问题列举了连续统假设和良序问题(参见连续统假设、选择公理)，说明当时它仍然是一个重要的数学难题。1904年E．F．F策尔梅洛解决了良序问题，证明了良序定理。在证明这一定理过程中，策尔梅洛明确地使用现代术语陈述了选择公理，运用它证明了良序定理，后来人们又运用良序定理证明了选择公理，也就是说，良序定理与选择公理是等价的，按照良序定理，实数集合是应当被良序的，但至今人们并未找到它的一个自然的良序。这样，选择公理也就是良序定理仍然有许多值得研究的问题。