司寇伦悖论

集合论公理系统ZF的可数模型中有一不可数集合。1923年司寇伦发现，若ZF协调，则ZF有一可数模型M(不妨假定M也是传递的)。在ZF中有一定理：存在着一不可数集合。不妨设集合S为M中一不可数集合，因为M传递，所以S的元素也都是M的元素，这样M也不可数了。当时，司寇伦及有关学者没法解释这一结论，就称它为司寇伦悖论。其实司寇伦悖论完全不是什么悖论。我们说，M中有不可数的集合S，是指在M中不存在S与ω的双射函数，这就是把所有这种函数都排斥在M之外了。在M之外，比如在所有集合组成的V中，S与ω有双射函数，S就是可数的了，说S可数是在V中的结论，说S不可数是在M中的结果，两者条件完全不同，不能构成悖论，因此，可以称它为一佯悖。它没有给公理集合论造成困难(参见集合论公理系统、策尔梅洛－弗朗克尔公理系统)。