素朴集合论

数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合，它与逻辑学有着密切的关系。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。也有人称它为数学的语言与逻辑。按现代数学观点。数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合，如群、环、拓朴空间；或者是可以通过集合来定义的(如自然数、实数、函数)。从这个意义上说，集合论可以看做是整个现代数学的基础，至多范畴论除外，不过，它仍然是在二型集合的框架下进行的。

集合论是G·康托尔于19世纪70年代创立的。它产生的背景是分析学，特别是三角级数发展的需要。当一个以2π为周期的周期函数f(x)在(0，2π)上表示成三角级数(例如它的傅里叶级数)

时，人们很自然地会提出下面的问题：这个表示是否是唯一的?这个问题也可以改述为：如果该级数在(0，2π)上都收敛于0，是否它所有的系数a、b皆为0?G．康托尔于1870年对这个问题给予肯定的回答。以后他进一步研究，如果上面条件减弱为：级数在(0，2π)上除若干(有限或无限)个点外均收敛于0，那么是否还能保证所有的a、b皆为0?正是由于研究这种不影响唯一性的例外点集的需要，康托尔引入了直线上的一些点集拓朴概念，探讨了前人从未碰过的结构复杂的实数点集。这是集合论研究的开端。

1874年康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他给集合下了这样一个定义：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物汇合起来，看做一个整体，就称为一个集合(简称集)，其中各事物称为该集合的元素(或成员)，也说它属于该集合。事物a属于集合A记为a∈A。这样，中国现有直辖市，《阿Q正传》中出现的不同汉字，全体自然数、直线上所有的点等等都是集合的例子。有了集合概念之后，就可进一步定义集合S的子集合TS，幂集P(S)，集合的并S∪T，交S∩T，笛卡儿直积S×T，以及集合上的关系，集合到集合的映射等一系列概念都是很直观明显的了。

康托尔的卓越成就是关于无穷集的研究。他把适用于有穷集的不用数个数而判定两集合一样大的一一对应准则推广到无穷集。元素间能建立一一对应的集合称为等势。一个无穷集可与它的一个真子集等势，这与传统的观念“全量大于部分”矛盾，但康托尔认为这恰恰是无穷集区别于有穷集的特征。他称与全体自然数N等势的集合为可数(无穷)集。当他证明了全体有理数和全体代数数都是可数集合之后，在1873年出乎意外地发现，全体实数R这一无穷集竟不是可数集，他在证明中应用了著名的对角线方法。这一事实说明，无穷集并非清一色地都是可数集，它们之间还是存在着差别。在这基础上，康托尔于1878年引入了对有穷集、无穷集都适用的“集合的势”后来又称为基数的概念。势是通常“个数”概念的推广。最初，康托尔把势定义为等势集合类共性的抽象，即属性与次序的两次抽象，后来G．弗雷格与B．A．W．罗素改为等势类本身。集合S的势记为｜S｜，如S=｛北京、天津、上海｝，则｜S｜=3。利用等势的概念可将有穷集间存在的大小关系推广到无穷集。例如可以说实数集R的势大于自然数集N的势。因为可以证明R的势等于N的幂集P(N)的势，所以也有｜N｜＜｜P(N)｜。1883年康托尔得到更一般的结果(康托尔定理)，即｜S｜＜｜P(S)｜。对任何集合S都成立。因此，如果从N出发不断做幂集，那么在序列N、P(N)、PP(N)，……中，每一个的势将比前一个大，而且每次至少要大一个“数量级”。也就是说，在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。

上面对无穷集的讨论中，只考虑到集合中元素的多少，没有考虑这些元素间可能出现的顺序。但当人们通常要比较两个元素很多的集合的大小时，总是先把它们分别排队，然后齐其一端，依次配对来比较两队的长短。由此可知排有顺序的集合的重要性。康托尔从1883年起开始研究有序集合，特别是其中的良序集，即每一子集都有第一个元素的有序集。为了刻划良序集的结构，他引入序数的概念。他把序数定义为良序集的序型，可看作用来编序的自然数(第一、第二、第三、……)的推广。序数可以比较大小。而且任一序数之后，恰有一个在大小顺序上紧紧尾随的序数。因此，如果用ω表示自然数集(按自然顺序)的序数，并采用序数算术的记法，那么，将所有序数，从0开始由小到大排起来，就形成如下的无穷序列

0，1，……，ω，ω+1，ω+2，……，ω+ω=(ω·2)，

(ω·2)+1，……，ω·3，……，ω·ω=(ω)，ω+1，

这样，康托尔就给出了序数的一种系统的表示法，相当于十进制之于自然数。这充分体现了康托尔惊人的想象力。利用序数可以把良序集编号，并将数学归纳法推广到自然数以外去(参见超穷归纳法)。良序集及序数的研究加深了对于基数的理解。1904年E．F．F．策尔梅洛证明了任一集合都可良序化(参见良序定理)，将基数等同于一个序数，这才解决了基数可比较大小这一根本的问题。此外，同序数一样，任一基数之后，甚至任一基数集之后，恰好有一个在大小顺序上紧紧尾随的基数。因此可将所有超穷基数按序数来编序，这就是所谓阿列夫的谱系，，，……，，，……(是最小无穷集可数集的基数)，它可无限延长下去。超穷序数和超穷基数一起构成了一幅“无限王国”的完整图景。它们所以还称之为数，是因为无论是基数和序数都各有自己的算术。就基数而论，加法和乘法都很简单，不仅服从通常运算规律(序数就不服从交换律：ω+1≠1+ω)，而且当0＜α≤β且β超穷时，总有α+β=β和α·β=β，但方幂则复杂得多，至今还有很多问题没有解决。

以上关于序数，基数的理论是康托尔于1895、1897年在以《关于超穷集合论的基础》为题的两篇文章中发表的。

“无穷”是一个重大的哲学问题。自亚里士多德以来直到19世纪的许多大数学家如C．F．高斯，A．－L．柯西等都只承认潜无限：例如，无限展开的自然数列1，2，……，n，……、可以无限延长的直线、永无休止的时间等等。潜无限是由有限量不断变化而形成的，它变化的每一步都是有限量，但都蕴含着一种潜在的趋向无穷的可能性。康托尔则研究实无限。在他那里，自然数集不是一个一个潜在地向无限变化，而是“一下子”全都呈现在我们面前。前面提到的超穷基数、，及超穷序数ω等刻划的无穷集，都是道道地地的实无限。康托尔关于实无限的集合论，一开始就遭到当时的权威L．克罗内克、H．庞加莱等人的非难，说它不是数学而是神秘主义，是病理学上的病例。但由于它应用在分析、拓扑和测度论上的成功，更多的数学家倾向于接受它，有的还极力拥护它。D．希尔伯特赞誉康托尔的超穷算术是数学思想最惊人的产物。集合论受到非难，并不仅是因为哲学观点和数学上的思想分岐，严重的困惑来自集合论内部。1900年前后在集合论中出现了悖论。按照素朴集合论的观点，所有集合的全体也应构成一个集合V，这V的劳应不小于其他任何集合的势，但由康托尔定理，它又明明小于其幂集P(V)的势，这就出现矛盾(康托尔悖论，1899)。同样，所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合，也应构成一集合T，现在问T是否属于T?如果T属于T，则T不满足T的定义，因此T不属于自身，即T不属于T；另一方面，如果T不属于T，则T满足T的定义，因此T应属于自身，即T属于T。总之，不论哪种情况，T属于T与T不属于T应同时成立，这也是矛盾(罗素悖论，1903)。这类悖论(特别是只涉及“集合”与“属于”两个概念的罗素悖论)的出现表明康托尔集合论的理论是不协调的，也使得人们对整个数学推理的正确性与结论的真理性产生怀疑，酿成了数学史上的第三次危机。

为了克服悖论所带来的困难，策尔梅洛于1908年提出了一个公理化的方案。他认为“鉴于罗素悖论的存在，今天已不允许把任何逻辑上可定义的概念的外延都当作一个集合了。康托尔原来的集合定义必然需要有所限制，但迄今又没有成功地被一个简单而无问题的定义所代替。因此别无选择，只有从现有的集合论成果出发，仅求足以建立这一数学分支的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”。策尔梅洛的公理系统以“集合”与“属于”为仅有的不加定义的原始概念，包括外延公理、空集合存在公理、无序对集合存在公理、并集合公理、幂集合公理、无穷公理、分离(子集合)公理、选择公理。此后，经过A．A．弗兰克尔和A．T．司寇伦的改进，又补充了替换公理和正则公理两条，通称ZF公理系统。上面的分离公理与替换公理实际上是各自包括无穷多条公理的模式。其中除第一与第十两条是对于集合的刻划或限制之外，其余的都是关于集合的存在性公理。特别值得注意的是子集公理：给定一个集合S和任一性质P，则S中所有具有性质P的元素构成一个集合。它不像康托尔那样承认一切具有给定性质P的事物总构成一个集合，而是先要有一个更大的集合，这就大大限制了集合构成的任意性。起初策尔梅洛公理系统中除了集合以外，还容许有本身不是集合，但可作为集合的元素的所谓原子。但在以后的发展中，人们认为这种原子对于开展数学是多余的，而将它们摒弃了。这样一来，一个集合，如果不是空集，便是以其他集合作为元素。于是一切集合，不论怎样复杂，无不是从空集出发，通过取幂集、并集、子集的步骤辗转生成的，也就是说，都呈现如下的形式：Φ，｛Φ｝，｛Φ，｛Φ｝｝，｛Φ，｛Φ｝，｛Φ，｛Φ｝｝｝，｛｛Φ｝｝，｛｛｛Φ｝｝｝，……，这是严谨集合论的一个特点。此外，在这里不像康托尔那样，用共同性质的抽象来定义基数和序数(因为抽象涉及心理，是非数学的)，也不像在弗雷格和罗素那里，用等价类来定义(因为它“过大”，不在集合之列)，而是选用与某集合等势(或与某良序集相似)的一个标准的代表作为该集合的基数(或序数)。例如，自然数0、1、2，就定义为分别含有零个，一个和两个元素的集合：0=Φ，1=｛0｝=｛Φ｝，2=｛0，1｝=｛Φ，｛Φ｝｝，……，再次把对象还原为集合的特点。由此也可看出，公理化的处理给集合论带来高度的统一性与一贯性。这里承袭了康托尔集合论的全部成果。事实上，凡是数学所需的一切有关集合运算、关系、映射的结果以及全部基数、序数的理论全都可以从公理系统中演绎出来。它又可以排除康托尔集合论中出现的悖论。因此，这一公理系统是相当成功的，它确实在很大程度上弥补了康托尔集合论的不足。把上述直观公理与一阶逻辑相汇合，获得的形式系统就是通常所说的ZF系统(参见策尔梅洛－弗兰克尔公理系统)。