完全性

一个公理系统或理论的一种性质。完全性有多种不同的定义。下面介绍三种：①一个公理系统称为古典意义下完全的，如果对每一个公式A，或者A在系统中可证，或者A在系统中可证。②一个公理系统称为语法完全的，如果把一不可证的公式作为公理增加到已有的公理中，就使得系统中的一切公式都是可证的。③一个公理系统称为语义完全的，如果系统中的所有真语句(对逻辑演算而言，常真公式)都是在系统中可证的。

上面定义的3种完全性的含义是不完全相同的。一个系统可以在一种含义下是完全的，而在另外的意义下是不完全的。例如，一阶逻辑在③的意义下是完全的，而在其余两种意义下是不完全的。①意义下的完全性是对于这样的系统说的，即系统中的公式都是语句(即公式中不含有自由变元)。逻辑演算中的定理含有自由变元，故没有①意义下的完全性。对于可证的公式都是语句的系统，假设可证的公式都是真的(这是有意义的系统都要求满足的)，那么3种定义下的完全性是一致的，即在一种意义下完全的，则在另一种意义下也是完全的。