一阶理论

指满足以下条件的形式系统T：①T的语言是一阶语言；②T的公理是一阶逻辑的公理和若干另外的公理，叫做非逻辑公理；③T的推演规则是一阶逻辑的规则。

为了说明一个一阶理论，只需说明它的非逻辑符号和非逻辑公理。为区别不同的一阶理论T，只需指明T的非逻辑符号和非逻辑公理。一阶理论包括一阶逻辑作为子系统。一阶理论T的语言记作L(T)，表示T的初始符号由一阶逻辑的初始符号加上T的非逻辑符号，T的非逻辑公理刻划非逻辑符号的性质。

一阶理论的例子，第一个例子，数论形式系统N，N的非逻辑符号包括：一个个体符号0，一个一元函数符号S，两个二元函数符号+和·。N的非逻辑公理是：

N7．若A为N中的公式，x在A中自由出现，则对每一个这样的公式A，有公理A(0)∧x(A(x)→A(S(x)))→xA(x)．自然数算术是N的一个模型。这个模型称为N的标准模型。

第二个例子，群论的形式系统G。G只有两个非逻辑符号：个体符号1和二元函数符号°G的非逻辑公理是：

任何一个群都是G的一个模型。