一元道义逻辑

亦称绝对道义逻辑。通过引入一元道义算子O(义务)和P(允许)以及相应的公理和推理规则而得到的道义逻辑系统。G．H．冯．赖特1951年提出了第一个可行的道义逻辑系统，不过其中的O、P是谓词而不是算子。T．J．斯米莱于1963年、W．H．汉森于1965年分别对冯·赖特的工作加以改进，把O、P看成算子，引入一些常项，定义其他算子，塑述了10个这种类型的道义逻辑系统。A．阿奎斯特在他的《道义逻辑和规范系统理论导论》(1985)一书中对这些系统作了详尽的讨论。

一元道义逻辑系统 斯米莱－汉森的道义逻辑在古典命题逻辑中引进算子O和P，Oα和Pα都是系统的公式，算子F由下列定义引进

Fα=Pα或Fα=dfOα

推理规则包括分离规则和O必然规则，后者断言：从α可推出Oα。公理模式则如下所述：

(A)古典命题逻辑中所有重言式

(A1)PαOα

(A2)O(α→β)→(Oα→Oβ)

(A3)Oα→Pα

(A4)Oα→OOα

(A5)POα→Oα

(A6)O(Oα→α)

(A7)O(POα→α)

选取上述公式可以构造10个不同的道义逻辑系统OK、OM、OS4、OB、OS5、OK、OM、OS4、OB、OS5，分别定义如下：

OK=A0～A2

OM=A0～A2，A6

OS4=A0～A2，A4，A6

OB=A0～A2，A6，A7

OS5=A0～A2，A4，A5(在OS5中A6和A7可导出)

令L是上述任一个系统，L定义如下：

L=L，A3

一元道义逻辑语义 一元道义逻辑语义与模态逻辑语义相似，依然是可能世界语义，其核心概念是模型。一个模型是一个有序三元组μ=〈W，R，V〉，这里W是可能世界非空集，其元素记为w，w，w，……；R是定义在W上的二元关系，叫做道义选择关系，wRw(i≥1)表示世界w是世界w的道义选择，若w是现实世界，则w就是比w道义上更完善或更理想的世界，在这类世界中，现实世界中的义务都得到了实现；V是一个赋值，它给每一道义原子公式α指派W的一个子集V(α)，α∈V(α)表示原子公式α在W的子集V(α)上真。道义公式的真条件递归定义如下：

①p当且仅当p∈V(p)

②α当且仅当并非α

③α→β当且仅当，若α则β

④Oα当且仅当，w∈W(wRwα)

⑤Pα当且仅当，w∈W(wRw并且α)

这里，α表示公式α在模型μ中的可能世界w中为真。一公式α在模型μ=〈W，R，V〉中有效，当且仅当，对于μ中的每一w∈W，都有α；α在μ中可满足，当且仅当，在μ中有一些w∈W使得α，或α不在μ中有效。一公式集S在模型类C中有效，当且仅当，S的每一公式在C类的每一模型μ=〈W，R，V〉中有效；S在C类中可满足，S的每一公式在C类的某些模型μ中有效。一道义逻辑系统L对于模型类C是可靠的，当且仅当，L的每一定理都在C类中有效。一道义逻辑系统L对于C类是完全的，当且仅当，在C类中有效的每一公式都是L的定理。模型与模型的不同在于其中R性质的改变。上面列举的公理模式A0～A1不要求模型中的R具有任何特殊性质，而A3～A7则要求R具有某种特殊性质，即分别要求R3～R7：

(R3)延续xy(xRy)

(R4)传递xyz(xRy∧yRz→xRz)

(R5)欧性xyz(xRy∧xRz→yRz)

(R6)拟自返xy(xRy→yRy)

(R7)拟对称xyz(xRy→(yRz→zRy))

已经知道，OK、OM、OS4OB、OS5、OK、OM、OS4、OB、OS5相对于满足其公理模式所要求的R的模型类是可靠并且完全的。