严格蕴涵

反映命题间必然联系的一种蕴涵。A严格蕴涵B意指A必然实质蕴涵B，或者说不可能A真而B假。利用真值联结词和模态词，严格蕴涵可以定义为□(AB)或者◇(A∧B)。

实质蕴涵充分反映了前后件在真假方面的联系，并且在数学中得到了成功的运用。但与之相关的一些永真公式有悖于蕴涵的直观意义；例如①A(BA)；②A(AB)；③(AB)∨(BA)。①意指任一命题都实质蕴涵真命题，②意指假命题实质蕴涵任何命题，③则意指任两个命题中总有一个蕴涵另一个。①和②有一个共同的结论就是，假命题实质蕴涵真命题。从③可以知道，对于任二个意义上毫无联系的命题A和B，AB和BA中至少有一个是真的。正因如此，公式①、②和③常称为实质蕴涵悖论(怪论)。这些悖论仍然反映了前后件在真假方面的联系，它们的出现只是说明实质蕴涵不能体现前后件在意义方面的必然联系，跟人们关于蕴涵的直觉相去较远。

为了弥补实质蕴涵的不足，C．I．刘易斯提出了严格蕴涵的概念。他在1914年发表的论文《严格蕴涵的演算》和《蕴涵的矩阵代数》中，初步构造了一个严格蕴涵系统。在他1918年的《符号逻辑综述》一书中以完整的形式给出了这一系统，世称“概述系统(surveysystem)”，并给出这系统的两个子系统(普通推理演算和一致性演算)。这3个系统后经修改就成了现在熟知的模态系统S、S和S。以∧、和◇为初始符号，系统S1由下列公理和规则组成：

替换规则：每一命题变项可用任何命题或命题函项来替代，等值的两个命题可以互相替换；

分离规则：从A和AB可推出B；

合取规则：从A和B可推出A∧B。

这里，AB定义为(A∧B)而AB定义为◇(A∧B)。在系统S中加进一致性公理◇(p∧q)◇p，就得到系统S。在S(或S)中附加公理(pq)(◇q◇◇p)，就得到系统S。

刘易斯认为他的严格蕴涵体现了蕴涵的直观意义。在他构造的那些系统中，没有相应于实质蕴涵悖论的有关严格蕴涵的定理。例如，相应于(AB)∨(BA)的严格蕴涵说法(AB)∨(BA)不是刘易斯系统中的定理。不过，即使在最弱的刘易斯系统S中也有下列定理：

如果把严格蕴涵认作蕴涵，那末根据这些定理就必须承认，不可能命题或假命题蕴涵任何命题，必然命题或真命题为任何命题所蕴涵。这一切都有悖蕴涵的直观意义，因而被称为严格蕴涵悖论。严格蕴涵企图反映的是命题间的必然联系，它并没有反映命题在内容方面的联系。跟实质蕴涵的情形完全一样，只要按严格蕴涵的本义来理解它，也就没有什么“严格蕴涵悖论”可言。

一个令人满意的蕴涵理论，不仅应当反映命题间的真假关系，而且应当反映在内容上的联系和命题间的必然联系。实质蕴涵和严格蕴涵都难以令人满意。为了寻求比较令人满意的蕴涵概念，逻辑学家早在20世纪30年代初就开始了进行修改严格蕴涵、建立新的逻辑系统的工作。其中，E·J·内尔森(Nelson)建立了一个内涵逻辑系统，W·T·帕里(Parry，1908～ )提出了“分析蕴涵”的概念。中国逻辑学家沈有鼎教授当年在哈佛大学留学时也曾参与他们的讨论，并提出过一些有教益的思想。此后，不断有人从事修改严格蕴涵的工作。