有穷主义

D．希尔伯特对元数学所持的观点和一种十分严格的要求。与有穷主义观点相应的方法为有穷(主义)方法。对元数学坚持有穷主义观点和只能使用有穷方法(finitist method)，是为了在证明古典数学的协调性时，证明中所用的工具和方法自身的协调性在直观上是明显可靠的。对有穷主义和有穷方法，希尔伯特没有给出精确的说明。在后来在他和P．贝奈斯合著的《数学基础》一书中，曾作如下的说明：“我们将总是把‘有穷’一词用来指：所涉及的讨论、断言和定义都必须满足其对象可以彻底给出并且其过程可以彻底进行的要求，因而可以在具体观察的论域中实现。”有穷方法是一种初等的组合方法。它处理的对象是具体直观的，“可见的(visualigable)”，每一步骤只考虑确定的有穷数目的对象。对全称命题只能在假言的意义下理解，也即，它是对任一给定的对象的断定。全称命题表达一规律，此规律对每一具体对象都必可以得到验证。存在断定必须能够直接给出某一特定对象，或者能够给出一个其步骤有特定界限的方法以得到那个对象。排中律对于某些形式的命题不能适用。按照王浩看法，有穷方法“这个不明确的概念的最可能的解释是，它们大约相当于原始递归算术(自然没有量词)的一个弱扩张。”因此有穷方法是非常弱的，哥德尔(第二)不完全性定理表明，它们对于证明一阶皮亚诺算术PA也是不足够的。在K．哥德尔得出他的不完全性结果之后，在证明古典数学的协调性时，放宽了对有穷主义的要求。

对元数学的有穷主义要求也影响了逻辑学家得到一些重要的元数学结果。哥德尔在1967年致王浩的信中曾经说：“从数学上说，完全性定理确实是司寇伦1922的一个几乎不足道的后承。但是，事实是，在那个时候，没有一个人(包括司寇伦自己)得出这个结论(既没有从司寇伦1922得出，也没有如我所作的那样，从他自己的类似的考虑得出。)……逻辑学家的这种盲目性(或者偏见，或者不论你称之为什么)确实是令人吃惊的。但是我认为它的解释是不难找到的。它在于，在那时，普遍缺乏一种对元数学和对非有穷推理所需要的认识论态度。”